离散数学习题答案 .pdf

离散数学习题答案

离散数学习题答案

习题一

1、利用逻辑联结词把下列命题翻译成符号逻辑形式

（1）他既是本片的编剧，又是导演P∧Q

（2）银行利率一降低，股价随之上扬P→Q

（3）尽管银行利率降低，股价却没有上扬P∧Q

（4）占据空间的、有质量而且不断变化的对象称为物质M

←→(S∧P∧T)（5）他今天不是乘火车去北京，就是随旅行团去了九寨

沟P▽Q

（6）小张身体单薄，但是极少生病，并且头脑好使P∧Q∧R

（7）不识庐山真面目，只缘身在此山中P→Q（解释：因为

身在此山中，所以不识庐山真面目）

（8）两个三角形相似，当且仅当他们的对应角相等或者对应边成

比例

S←→(E∨T)

（9）如果一个整数能被6整除，那么它就能被2和3整除。如果

一个整数能被3整除，那么它的各位数字之和也能被3整除

解：设P–一个整数能被6整除Q–一个整数能被2整除R–一个

整数能被3整除S–一个整数各位数字之和能被3整除

翻译为：（P→（Q∧R））∧（R→S）

2、判别下面各语句是否命题，如果是命题，说出它的真值

（1）BASIC语言是最完美的程序设计语言Y，T/F

（2）这件事大概是小王干的N

（3）x2=64N

（4）可导的实函数都是连续函数Y，T/F

（5）我们要发扬连续作战的作风，再接再厉，争取更大的胜利--

-N

（6）客观规律是不以人们意志为转移的Y，T

（7）到2020年，中国的国民生产总值将赶上和超过美国Y，

N/A

（8）凡事都有例外Y，F

3、构造下列公式的真值表，并由此判别哪些公式是永真式、矛盾

式或可满足式

（1）（P∨（～P∧Q））→Q

解：

PQ～P∧QP∨（～P∧Q）（P∨（～P∧Q））→Q可满足式

00001

01111

10010

11011

4、利用真值表方法验证下列各式为永真式

（1）~（8）略

5、证明下列各等价式

（3）P→（Q∨R）?（P→Q）∨（P→R）

证明：左式?～P∨Q∨R

～P∨Q∨～P∨R

（～P∨Q）∨（～P∨R）

（P→Q）∨（P→R）?右式

（4）（P∧Q）∨（R∧Q）∨（R∧P）?（P∨Q）∧（R∨Q）∧

（R∨P）

证明：左式?(（P∨R）∧Q）∨（R∧P）

(（P∨R）∨R))∧(（P∨R）∨P))∧（Q∨R）∧（Q∨P）

（P∨Q）∧（R∨Q）∧（R∨P）?右式

6、如果P∨Q?Q∨R,能否断定P?R？如果P∧Q?Q∧R，能否

断定P?R？如果～P?～R，能否断定P?R？

解：（1）如果P∨Q?Q∨R，不能判断P?R，因为如果Q=P∨

R,那么P∨Q?P∨P∨R?Q∨R，但P可以不等价于R.

（2）如果P∧Q?Q∧R，不能判断P?R，因为如果Q=P∧R,那

么P∧Q?P∧P∧R?Q∧R，但P可以不等价于R.

（3）如果～P?～R，那么有P?R，因为～P?～R，则～P

-～R为永真式，及有P-R为永真式，所以P?R.

8、把下列各式用↑等价表示出来

（1）(P∧Q)∨～P

解：原式?((P↑Q)↑(P↑Q))∨(P↑P)

(((P↑Q)↑(P↑Q))↑((P↑Q)↑(P↑Q)))↑((P↑P)↑(P↑P))

9、证明：{～→}是最小功能完备集合

证明:因为{～,∨}是最小功能完备集合,所以,如果{～→}能表示出∨,

则其是功能完备集合。由于P∨Q?(～P)