《等比数列的前n项和》教学设计二 (2).docVIP

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《等比数列的前n项和》教学设计二

教学设计

一、导入新课

师国际象棋起源于印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，这个故事大家听说过吗？

生知道一些

师“请在第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子正里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，以此类推每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.

师假定千粒麦子的质量为40g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计，你认为国王能不能满足他的要求.

设计意图：通过学生感兴趣的问题，激发学生学习的动力，顺利引入课题.

学生各抒己见动笔，列式，计算

生能列出式子:麦粒的总数为?

师这是一个什么样的问题?你们计算出结果了吗?让我们一起来分析一下.

课件展示:?

师我们将各格子里所放的麦粒数看成是一个数列,那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子里所放的麦粒数总和,就是求这个等比数列的前64项的和.

现在我们来思考一下这个式子的计算方法.

记,式中有64项,后一项与前一项的比为公比2,当每一项都乘以2后,中间有62项是对应相等的,作差可以相互抵消.

设计意图:为后面利用错位相消法推导等比数列的前项和公式奠定基础.

课件展示:

，=1\*GB3①

，=2\*GB3②

=2\*GB3②—=1\*GB3①得.

这个数很大,超过了,假定千粒麦子的质量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.

师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的结果发生，这都是由于他不具备基本的数学知识而造成的.而可避免这个不幸结果发生的知识，正是我们这节课所要探究的内容.

二、推进新课

[合作探究]

师在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:?

师这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察.

学生观察、独立思考、合作交流、自主探究.

师若将上式左边的每一项乘以公比,就出现了什么样的结果呢?

生.

生每一项就成了它后面相邻的一项.

师对上面问题的解决有什么帮助吗?

师生共同探索:

如果记,

那么.

要想得到,只要将两式相减,就有.

教师提问学生这一步后应如何处理,适时提醒学生注意的取值.

生如果,则有.

师当然,我们还要考虑如果,会得到什么样的结果呢?

生如果,那么.

师上面我们先思考了一个特殊的简单情形,那么,对于等比数列的一般情形我们怎样思考?

课件展示:

[教师精讲]

师在上面特殊简单情形的解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就是“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.

师在解决一般情形的等比数列求和时,我们可以使用“错位相减法”.

如果记,

那么,

要想得到,只要将两式相减,就有.

教师再次提醒学生注意的取值.

如果,则有.

师上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程:

如果记,

那么,

要想得到,只要将两式相减,就有.

如果,则有.

设计意图:由特殊到一般,根据课堂引入部分具体的推导过程,利用相同方法,推导等比数列前项和的公式,发展逻辑推理核心素养.

师上述两种推导过程,只是在形式上有不同之处,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”.在形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:中的四个;后者出现的是四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前项和提供了选择的余地.

值得注意的是:上述结论都是在“如果时”的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比数列的公比时,我们才能用上述公式.

师现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果,如何求等比数列的前项和呢?

学生独立思考,合作交流.

生如果.

师完全正确.

如果,那么正确吗?怎么解释?

生正确.时,等比数列的各项相等,它的前项和等于它的任一项的倍.

师对了,这就是认清了问题的本质.

师等比数列的前项和公式的推导还有其他的方法,下面我们再来一起探讨一下.

[合作探究]

思路一:根据等比数列的定义,可得

再由等比定理,得,

即,

从而有.

(以下从略)

思路二:由得

从而得.

(以下从略)

师探究中我们发现,是一个非常有用的关系式,应该引起大家足够的重视.在这个关系式中,的取值应该满足什么条件?

生.

师对,请同学们今后多