专题32 一次函数中菱形存在问题综合应用（原卷版）.pdf

专题32一次函数中菱形存在问题综合应用

解答方法

1．菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

2．坐标系中的菱形：

有3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．

3．解题思路：

（1）思路1：先等腰，再菱形

在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确

定第3个点，再确定第4个点．

（2）思路2：先平行，再菱形

设点坐标，根据平行四边形的存在性要求列出“”（AC、BD为对角线），再结合一组邻

边相等，得到方程组．

方法总结：

菱形有一个非常明显的特点：任意三个顶点所构成的三角形必然是等腰三角形。

为AB’

典例分析

【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：与直线CD：y

＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．

（1）求直线CD的解析表达式；

（2）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，

以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐

标．

【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l分别交x轴、

y轴于A、B两点，AB＝5，OA：OB＝3：4．

（1）求直线l的表达式；

（2）点P是y轴上的点，点Q是第一象限内的点．若以A、B、P、Q为顶点

的四边形是菱形，请直接写出Q点的坐标．

【变式1-2】如图1，在平面直角坐标系中，直线L：y＝﹣x+6与L：y＝x

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交于点A，分别与x轴、y轴交于点B、C．

（1）分别求出点A、B、C的坐标；

（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表

达式；

（3）在（2）的条件下，设P是直线CD上的点，在平面内是否存在其它点

Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

夯实基础

1．如图在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于

1

点B，直线l：y＝2x与直线l交于点P．

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（1）A点坐标为，P点坐标为；

（2）在线段AB上有一个动点M，过M点作直线MN∥y轴，与直线y＝2x相

交于点N，若△PMN的面积为，求M点的坐标．

（3）若点C为线段AB上一动点，在平面内是否存在点D，使得以点O，A，

C，D为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出D点的坐标，若不存在请说

明理由．

2．已知：在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B

1

两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．

（1）求直线l2的解析式；

（2）如图1，点P为直线l1一个动点，若△PAC的面积为10时，请求出点P

的坐标．

（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△ABC，

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请问在平面内是否存在点D，使得以A、C、C、D为顶点的四边形是菱形？

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若存在，直接写出点D的坐标．

3．如图，在平