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空间向量与立体几何2024高考题目及答案

2024年高考题目及答案：空间向量与立体几何

【引言】

2024年高考数学试题中，空间向量与立体几何是一个重要的考点。

在此次试题中，考查了空间向量的定义、运算和应用，以及立体几何

中的线面交角、直线方程和平面方程等内容。本文将对这些题目进行

具体分析和解答，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识点。

【题目一：空间向量的定义和运算】

题目描述：已知点A(1,2,-3)、B(4,-1,2)，向量AB可以表示为OA

减去OB。求向量AB的模长和方向余弦。

解答：

首先，根据向量的定义，向量AB可以表示为OB减去OA，即AB

=OB-OA。

则有向量AB=(4,-1,2)-(1,2,-3)=(4-1,-1-2,2-(-3))=(3,-3,5)。

其次，求向量AB的模长，使用模长的定义：|AB|=√(3^2+(-3)^2

+5^2)=√(9+9+25)=√43。

最后，利用方向余弦的定义，设向量AB与空间坐标轴的夹角为α、

β、γ，则有：

cosα=3/√43，cosβ=-3/√43，cosγ=5/√43。

【题目二：空间向量的应用】

题目描述：在空间直角坐标系中，已知向量a=(3,0,4)，向量b=

(1,-2,2)。求向量a与向量b的数量积、向量积和夹角。

解答：

首先，求向量a与向量b的数量积，使用数量积的定义：a·b=3*1

+0*(-2)+4*2=3+0+8=11。

其次，求向量a与向量b的向量积，使用向量积的定义：a×b=|ij

k|

|304|

|1-22|

=i*(0*2-(-2)*4)-j*(3*2-4*1)+k*(3*(-2)-1*0)

=i*(-8)-j*(6)+k*(-6)

=(-8,-6,-6)。

最后，利用向量的数量积与夹角的关系，夹角θ满足cosθ=(a·b)/

(|a|·|b|)。

代入数据进行计算，cosθ=11/(|a|·|b|)=11/(√(3^2+0^2+4^2)*

√(1^2+(-2)^2+2^2))=11/(5*3)=11/15。

因此，夹角θ的弧度为arccos(11/15)。

【题目三：立体几何中的线面交角】

题目描述：已知直线l1的方程为x+1/2=y-1/3=z，平面α的方程为

2x-y+z=4。求直线l1与平面α的交角。

解答：

首先，直线l1的方向向量为(1,1,1)。

平面α的法向量为(2,-1,1)。

则直线l1与平面α的交角θ满足cosθ=|(1,1,1)·(2,-1,1)|/(|(1,1,

1)|·|(2,-1,1)|)。

计算可得到cosθ=0/(√3*√6)=0。

因此，交角θ为90°，即直线l1与平面α相交成直角。

【题目四：立体几何中的直线方程和平面方程】

题目描述：已知直线l的一般式方程为(x-1)/2=(y-3)/(-1)=(z-2)/3，

平面β过点A(1,-2,3)且法向量为(1,2,1)。求直线l与平面β的交点坐

标。

解答：

直线l的方向向量为(2,-1,3)。

平面β的法向量为(1,2,1)。

设直线l与平面β的交点坐标为P(x0,y0,z0)。

由直线与平面的条件可知：

1.直线上的点P(x0,y0,z0)满足