5.3.2函数的极值与最大（小）值（1）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

5.3.2函数的极值

1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系：在某个区间(a,b)上，如果f′(x)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f′(x)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.2.利用导数研究函数y=f(x)的单调性的一般步骤：(5)判断f′(x)在各区间上的正负，得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.(3)求方程f′(x)=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格；(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；复习回顾

?新知探究

我们再次来研究前面学习过的高台跳水问题.观察下图，我们发现，当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.问题1函数h(t)在此点的导数是多少呢?此点附近的图象有什么特点?相应地,导数的符号有什么变化规律?xyOab(1)放大t=a附近的图象,如图(2)所示.(2)由图可以看出,h′(a)=0;在t=a的附近,当ta时，函数h(t)单调递增，h′(t)0;当ta时，函数h(t)单调递减，h(t)0.这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h(t)先正后负，且h(t)连续变化，于是有h(a)=0.新知探究

问题2对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢?以x=a,b两点为例追问2：y=f(x)在这些点处的导数值是多少？f′(a)=0f′(b)=0追问3：在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？在x=a附近左侧f′(x)0,右侧f′(x)0在x=b附近左侧f′(x)0,右侧f′(x)0追问4：在这些点附近，函数y=f(x)的单调性有什么规律？新知探究f(x)先增后减f(x)先减后增

我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.极值点与极值的定义：新知探究

极值点x0为极大值点x0为极小值点极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值条件f(x0)=0x0附近左侧f(x0)0x0附近右侧f(x0)0x0附近左侧f(x0)0x0附近右侧f(x0)0x0附近f(x)f(x0)x0附近f(x)f(x0)图像新知探究用函数f(x)判断极值点：先增后减为极大先减后增为极小用导函数f(x)判断极值点：先正后负为极大先负后正为极小

思考3：一个函数的极小值一定小于极大值吗？思考1：一个函数的极大值或极小值是唯一的吗？上思考4：极值点可能是区间端点吗？不一定不一定不可能思考2：任何一个函数一定有极大值或极小值吗？上述图,不一定思考5：若f(x0)=0，则x0一定是极值点吗？不一定概念辨析

x0是极值点是f(x0)=0的充分不必要条件.②极大值和极小值的大小没有必然关系.③极值点必在区间内部，区间端点不能作为极值点.若f′(x)在点x0的左右两侧符号相同，则f(x0)不是极值．概念辨析

例5解：x(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,＋∞)f′(x)f(x)xyO-22新知应用

如何判断f(x0)是极大值或是极小值？f?(x)0yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极小值点两侧f?(x)0f?(x)0f?(x)0x2xx0左侧x0x0右侧f′(x)f(x)xx0左侧x0x0右侧f′(x)f(x)增f′(x)0f′(x)=0f′(x)0极大值减f′(x)0f′(x)=0增减极小值f′(x)0新知应用用函数f(x)判断极值点：先增后减为极大先减后增为极小用导函数f(x)判断极值点：先正后负为极大先负后正为极小

求可导函数f(x)极值的步骤：（1）确定函数的定义域（2）求导数f′(x)；（3）求方程f′(x)=0的根（4）由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况：如果左正右负（左增右减），那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正（左减右增），那么f(x)在这个根处取得极小值；求导—求临界点—列表—求极值方法归纳

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?Oabxyx1?x2x3x4x5x6???课本练习P92课后练习

xf(x)f(x)﹣+﹣00不是极值极小值两侧导数是否异号?减减增新知探究

解：xf′(x)f(x)课后练习课本练习P92

解：x(－∞,－3)－3(－3,3)3(3,＋∞)f′(x)