2024届广东省广州市华南师范大学附属中学高三下学期期中考试数学试卷.docVIP

2024届广东省广州市华南师范大学附属中学高三下学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★)1.设集合，则图中阴影部分表示的集合是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)2.若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.在的展开式中，的系数为（）

A．2

B．8

C．16

D．24

(★★★)5.如图，在等腰梯形ABCD中，，，，E为BC边上一点，且满足，若，则（）

A．

B．

C．4

D．8

(★★★)6.若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)7.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）

A．

B．2

C．

D．

(★★)8.已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（）

A．3

B．18

C．3或18

D．不存在

二、多选题

(★★★)9.若复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A．在复平面内对应的点位于第四象限

B．

C．（是z的共轭复数）

D．若，则的最小值为

(★★)10.已知，，且，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)11.（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（）

A．

B．是等比数列

C．

D．

(★★★)12.已知函数，则（）

A．在区间上单调递减

B．的最小值为0

C．的对称中心为

D．方程有3个不同的解

三、填空题

(★★)13.函数图像的对称中心的坐标为______．

(★★★)14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与在第一象限的交点为，若，，则的离心率为______．

(★)15.已知函数的部分图像如图所示，则______．

(★★★)16.已知一个正四棱台的上下底面边长之比为，体积为，若此正四棱台的内切球存在，则这个内切球的表面积为__________.

四、解答题

(★★★)17.在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

已知为等差数列的前项和，若______.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

(★★)18.已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.

(1)求角C的大小；

(2)若，求△的面积S的最大值.

(★★★)19.如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一点.

(1)若平面，证明：是的中点.

(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

(★★★)20.某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下:得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示.

若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题:

(1)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）;

(2)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值.

附:若随机变量X服从正态分布，则，，.

(★★)21.已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为.

(1)求双曲线的方程；

(2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率.

(★★★★)22.已知函数.

(1)当时，求函数在区间上的最小值；

(2)讨论函数的极值点个数