一元二次方程根与系数的关系【选讲】(教师版)--初中数学四维三难【人教版】.pdf

一元二次方程根与系数的关系【选讲】

一、课堂目标

理解根与系数关系，会用根系关系求参数的值或快速求解含参方程

二、知识讲解

1.根与系数的关系（韦达定理）

在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是

否有实数根）由确定．

设一元二次方程为，其根的判别式为：则

①方程有两个不相等的实数根．

②方程有两个相等的实数根．

③方程没有实数根．

一元二次方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系

数、、决定根的值，而且反应了根与系数间的关系．那么一元二次方程的根与系数之间的联系还有

其他表现方式吗？

探究1

从因式分解法可知，方程（、为已知数）的两根为和，将方程化为

一般式后，你能说一说两个根和系数之间的关系吗？

探究2

探究1是二次项系数为1时，根和系数的关系，现在扩展到一般式（）中，探

究根和系数的关系．

当，即方程有实数根，由可知，

，

1

．

因此，方程的两个根，和系数，，有如下关系：

，．

韦达定理：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比

的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．

例题1

若关于的一元二次方程的两根为，，则．

【答案】

【解析】由已知，，

所以原式．

【标注】【知识点】一元二次方程根与系数的关系

练习1

1.方程的解为、，则；．

【答案】;或

【解析】根据题意得：，

．

故答案为，．

【标注】【知识点】一元二次方程根与系数的关系

2.已知，是方程的两个实数根，则．

【答案】

【解析】根据题意得，，

所以．

2

故答案为．

【标注】【知识点】一元二次方程根与系数的关系

2.根与系数关系的应用

．不解方程，求与方程的根有关的代数式的值；

．已知方程的一个根，求方程的另一个根；

．与根的判别式相结合，解决一些综合题．

【总结】几个重要变形：

①；

②；

③；

④．

例题2

1.已知方程