数学下册第三十章二次函数30.4二次函数的应用第1课时抛物线形问题教 完整版727468549.pdf

抛物线形问题

学习目标

1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．

2．利用二次函数解决拱桥、涵洞关问题．

3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．

教学过程

一、情境导入

某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4

米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度

是多少？

二、合作探究

探究点：拱桥、涵洞问题

如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离

水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．

解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝

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a×22，a＝－，∴y＝－x2，当y＝－3时，－x2＝－3，x＝±6.故答案为26.

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方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐

标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标

代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．

如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，

最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标

系．

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(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

(2)求出这条抛物线的函数关系式；

(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C.D点在抛物线上，A.B点在地面OM

上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)

和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，可利用

待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑

架”总长AD＋DC＋CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问

题．

解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为

12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6)．

(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2＋6.因为函数y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝

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a(0－6)2＋6，即a＝－.所以此函数关系式为y＝－(x－6)2＋6＝－x2＋x＋3.

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(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－m2＋m＋3)，D(m，－m2＋m＋3)．即

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“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－m2＋m＋3)＝－m2＋18.

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因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.

板书设计

建立二次函数模型：（1）拱桥问题；（2）涵洞问题.

教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次

函数模型，解决生活中的实际问题.