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各阶后向预测误差相互正交。用公式表示如下:平稳随机序列可由自相关函数或反射系数表征。前向预测误差滤波器是最小相位滤波器,即它的全部零点在单位圆内。后向预测误差滤波器是一个稳定的最大相位滤波器,全部零点在单位圆外。格型滤波器的性质3、LMS格型自适应滤波器在满足预测误差的均方值最小的准则下,最佳自适应格型滤波器求解关键在于计算出反射系数。其方法有:采用使前、后向预测误差功率的和为最小的原则求反射系数。公式为即可以得到实际计算时,上式中的统计平均值用时间平均计算,公式为对于复信号情况,公式为如果输入数据为x(i),i=0,1,2,…,n,当p=1时,这里因此当p=2时,其中以此类推,可以得到的具体计算公式为这种算法必须从低阶推起,要求较大的存储时间,有较大的计算延迟,使应用受到限制。其中,采用梯度算法计算反射系数将上式代入前一式中,得到式中,β=2μ,为步长因子。1将Rxx进行分解,得到3其中,Q称为正交矩阵或特征矩阵,Λ是由特征值组成的对角矩阵,用下式表示:2Rxx=QTΛQ,Λ=QTRxxQ令得到(3.2.62)由E[Vj]=E[Wj]-W*01LMS算法加权矢量是在最陡下降法加权矢量附近随机变化的,其统计平均值等于最陡下降法的加权矢量。02LMS算法加权矢量的收敛条件为(3.2.64)加权矢量的的收敛条件收敛条件还可以表示为加权矢量的收敛性质μ值对收敛稳定性和收敛速度影响很大,首先必须选择得足够小,使之满足收敛条件,同时,它还影响收敛速度。W*?W?WjWE[ej2]值的影响图3.2.7(a)较小时的情况;(b)较大时的情况LMS算法的过渡过程(3.2.68)(3.2.62)权矢量的过渡过程:由(3.2.62)式,第i个分量为引入时常数τi,(3.2.69)(3.2.70)(3.2.71)同样,第i个权系数可以表示成(3.2.72)令LMS算法性能函数的过渡过程按照(3.2.4)式,信号误差为(3.2.73)其中,最佳误差信号为按照(3.2.73)式写出均方误差表示式:假设加权系数变化很小,Vj也变化很小,E[Vj]≈Vj,这样:假定Xj和Vj不相关,上式中最后一项为0,那么类似前面的推导,得到(3.2.74)(3.2.75)LMS算法的学习曲线同样近似为几个不同时间常数的指数和,性能函数的衰减时间常数约为最佳权系数衰减时间常数的一半。最终的收敛要取决于最慢的指数过程,它的时常数最大,对应最小的特征值,公式如下:稳态误差和失调系数存在问题:实际中,工作于实时的自适应算法,权系数不能完全收敛于最佳值,只是其平均值可以收敛到最佳值。这是由于采用梯度的估计值代替梯度值而产生的估计误差。解决方法:引入失调系数M进行描述,其定义为上式说明,μ和输入功率加大都会增加失调系数。跟踪能力越好,曲线稳态越接近横轴。图3.2.10LMS算法稳态误差上式说明,当选择足够长的,M可以做到任意小。但当一定时,M随着权数目N的增加而增大。另一方面,越小,收敛也会越快。如此,便产生了动态特性和静态特性的矛盾,这就要求我们在收敛速度和失调量间取得适当的折中。一般而言,迭代次数选择为。按经验实际迭代次数应取100(=10?滤波器长度N)或取例设M=10%(一般M=10%可以满足大多数工程设计的要求)并设N=10,问应该取多少次迭代数?解:图3.2.11LMS算法的学习曲线预测误差滤波器预测误差格型滤波器LMS格型自适应滤波器3.3LMS格型自适应滤波器1、线性预测误差滤波器将前向预测误差用表示,上式重写为前向预测误差为前向预测误差滤波器将上式用矩阵方程表示为其Yule-Walker方程式为:假设前、后向预测器具有相同的系数,则后向预测误差为后向预测误差用 表示,上式可写为:后向预测误差滤波器前、后向预测误差滤波器的系数函数之间的关系是为了求解前、后向预测误差滤波器的最佳系数,需要解Yule-Walker方程,求解方法采用Levinson-Durbin算法。Levinson-Durbin的一般递推公式如下:其中,kp称为反射系数。σ2p和σ2p-1是预测误差的均方值,因此1-k2p必须大于等于0,这样kp应要求满足下式:由上式可知,预测误差随递推次数增加而减少。2、预测误差格型滤
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