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《样本的数字特征》教学设计一

教学设计

一、引入新课

初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.

1.数据7，8，6，8，6，5，8，10，7，4中的众数，中位数，平均数分别是多少？

2.如果在n个数据中，出现次，出现次出现次，那么这n个数的加权平均数是_____.

3.前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，给出了这些样本数据的频率分布直方图如图：

（注：图中的数据是小矩形的面积）

那么从频率分布直方图中你能得到这些数据的众数、中位数、平均数吗？

二、新知探究

问题1：如何从样本数据中提取基本的数字特征？

思考1：引入新课的第3题中如何从频率分布直方图中估计众数？

师生活动：学生交流讨论得出结论：

由题目所给的频率分布直方图中可知居民用水最多的频率出现在中部也就是2.25左右，所以众数是2.25.

师：请大家看看原始抽样数据（下表），有没有2.25这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？

学生思考交流.

结论：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的数据信息抹掉了，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差.

显然通过频率分布直方图的估计精度较低，而且其估计结果与数据分组有关.但是在不能得到样本数据，只能得到频率分布直方图的情况下，也可以估计总体的特征.

思考2：如何根据频率分布直方图估计中位数？

师生活动：学生交流讨论.

结论：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计中位数的值.

在上图中，虚线代表居民月平均用水量的中位数的估计值.其左边的直方图的面积是50个单位，右边的直方图的面积也是50个单位，由此可以估计出中位数的值为2.02.

思考：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？

样本数据的频率分布直方图把原始的数据信息抹掉了.

思考3：如何从频率分布直方图中估计平均数？

师生活动：学生交流讨论.

结论：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

由此得出居民的月用水量的平均数是2.02t.

大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.

师：对用众数，中位数，平均数来估计总体数字特征的几个说明：

（1）样本众数通常用来表示分类变量的中心值，比较容易计算，但是它只能表示样本数据中的很少一部分信息.

（2）中位数不受少数几个极端值的影响，容易计算，它仅利用了排在中间的数据的信息.

（3）样本平均数与每个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数，众数都不具有的性质，也正因为这个原因，与众数，中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.

（4）如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值.

设计意图：通过具体的问题用平均数、众数、中位数来刻画数据的特征，并使分析数据的思想显性化.通过实例演算，力争让每位学生都能准确地计算出样本的数字特征，进一步巩固提升学生的数学运算能力，在复习回顾已学知识的基础上自然过渡到学习新知识，有助于学生从“最近发展区”构建新知.通过频率分布直方图估计众数、中位数、平均数，学习怎样在统计图表中提取数据.建立知识间的联系，使学生形成一个较完整的知识体系.

问题2：如何求标准差和方差？

思考1：什么是数据的标准差、方差？公式是什么？标准差、方差反应的是数据怎样的变化情况？

师生活动：学生阅读教材并思考讨论.

结论：标准差指的是样本数据到平均数的一种平均距离，反应的是数据的离散程度.

方差是标准差的平方，反应的也是数据的离散程度.

标准差公式：

方差：.

思考2：如何利用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征？

师生活动：学生思考交流.

结论：数据波动越大则标准差、方差越大，数据越不稳定.数据波动越小则标准差、方差越小，数据就越稳定，即标准差、方差反应的是数据的波动情况.

追问：为什么有了方差还要出现标准差呢？

方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度，由于方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应与原始观测数据具有相同的单位.解决这一局限性的方法就是取方差的算术平方根，即标准差.

三、典型例题

例1某赛季篮球运动员甲每场比赛的得分（单位：分）情况如下：

求在该赛季比赛中，这名运动员得分情况的平均数中