1104高一【数学(人教A版)】不同函数增长的差异-课件.pptx

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不同函数增长的差异

学科：数学(人教A版)

学校：北京市第五中学

年级：高一

主讲人：赵良珮

情境引入

在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数?

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y=√x

情境引入f(x)=kx(k0)

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h(x)=logax(a1)

8(x)=a*(a1)

y=x³

y=X

情境引入

虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.

下面就来研究一次函数f(x)=kx+b,k0,指数函数8(x)=ax(a1),对数函数h(x)=logax(a1)在定义域内增长方式的差异.

我们采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法.

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探究一：以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.

分析：(1)在区间(-00,0)上，指数函数y=2x值恒大于0,一次函数y=2x值恒小于0,所以我们重点研究在区间(0,+o)上它们的增长差异.

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X

y=2×

y=2x

0

1

0

0.5

1.414

1

1

2

2

1.5

2.828

3

2

4

4

2.5

5.657

5

3

8

6

…

…

7

以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.

(2)借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：

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(3)观察两个函数图象及其增长方式：

结论一：函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4);

结论二：在区间(0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上；结论三：在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下；结论四：在区间(2,3)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上.

综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不

同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快.

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请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系?

想象：随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎

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微不足道.

总结一：函数y=2x与y=2x在[0,+o]上增长快慢的不同如下：

虽然函数y=2x与y=2x在[0,+o]上都是单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在一个“档次”.

随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.

尽管在x的一定范围内，2x2x,但由于y=2×的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x₀,当xx₀时，恒有2x2x.

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总结二：一般地指数函数y=a(a1)与一次函数y=kx(k0)的增长都

与上述类似.

即使k值远远大于a值，指数函数y=a(a1)虽然有一段区间会小于y=kx(k0),但总会存在一个xo,当xx₀时，y=a(a1)的增长速度会大大超过y=kx(k0)的增长速度.

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X

0

5

10

15

20

25

30

y1

5

130

505

1130

2005

3130

4505

y2

5

90

1620

29160

524880

9447840

170061120

y3

5

30

55

80

105

130

155

例1.三个变量y₁,y2,y₃随变量x变化的数据如下表：

其中关于x呈指数增长的变量是y₂

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探究二：以函数y=lgx与为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.

分析：(1)在区间(-0,0)上，对数函数y=lgx没意义，一次函数值恒小于0,所以研究在区间(0,+o)上它们的增长差异.

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x

y=lgx

0

不存在

0

10

1

1

20

1.301

2

30

1.477

3

40

1.602

4

50

1.699

5

60

1.778

6

…

…

7

以函数y=lgx与为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.

(2)借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：

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(3)观察两个函数图象及其增长方式：

总结一：虽然函数y=lgx与在(0,+o)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.

在(0,+o)上增长速度不变，y=lgx在(0,+o)上的增长速度在变化.

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