专题13 二次函数综合压轴题（原卷版）.docx

专题13二次函数综合压轴题

考点

五年考情（2020-2024）

命题趋势

考点1二次函数综合压轴题

（5年5考）

2024·山西：二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题

2023·山西：相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合)

2022·山西：相似三角形问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算

2021·山西：面积问题(二次函数综合)

2020·山西：求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、证明两三角形相似、利用相似三角形的性质求解

中考试卷中，二次函数综合题（代几综合题、解决实际问题）属于必考题目，这类试题常以二次函数为背景，综合考察二次函数的性质、函数与方程和不等式联系、全等三角形、相似三角形、平行四边形及特殊平行四边形、圆、三角函数、动点最值问题等，该题型综合性强，难度系数较大，既能考察基础知识和基本技能，又考查数学思想方法和数学能力，区分度较大，同学们在复习时，要注重总结解题技巧，灵活运用数形结合及分类讨论思想，举一反三。

考点1二次函数综合压轴题

（2024·山西）综合与实践

问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．

方案设计：如图2,AB=6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且

第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB=90°．用篱笆沿线段AC，BC分隔出

第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用?笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．

方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米蓠笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题：

（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；

（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；

（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．

（2023·山西·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．

??????

(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；

(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．

①当时，求的值；

②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．

（2022·山西·中考真题）综合与探究

如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；

(2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

（2021·山西·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．

（1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；

（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点．

①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长．

（2020·山西·中考真题）综合与探究

如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．

??

（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；

（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；

（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．

（2024·山西阳泉·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C0,1，抛物线的对称轴交x轴于点D．过点B作直线轴，连接，过