微专题 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题(六大题型)(解.pdfVIP

妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题

【题型归纳目录】

题型一：x+y问题(系数为1)

题型二：mx+ny问题(系数不为1)

题型三：mx-ny问题

mn

题型四：+问题

xy

y

题型五：问题

x

题型六：x2+y2问题

【方法技巧与总结】

(1)平面向量共线定理



已知OA=λOB+μOC，若λ+μ=1，则A,B,C三点共线；反之亦然。

(2)等和线



平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OP=λOA+μOB(λ,μ∈R)，若点P在直线AB上或者在

平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称

为等和线。

①当等和线恰为直线AB时，k=1；

②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；

③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1,+∞)；

④当等和线过O点时，k=0；

⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；

【典型例题】

x+y

题型一：问题(系数为1)



1(2024·山东滨州统考一模·)在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若AN



=λAB+μAC(λ，μ∈R)，则λ+μ的取值范围是()

111



A.0,B.,C.[0,1]D.[1,2]





332

【答案】C

1



【解析】由题意，设AN=tAM，0≤t≤1，







当t=0时，AN=0，所以λAB+μAC=0，

所以λ=μ=0，从而有λ+μ=0；



当0t≤1时，因为AN=λAB+μAC(λ，μ∈R)，



λμ

所以tAM=λAB+μAC，即AM=AB+AC，

tt

λμ

因为M、B、C三点共线，所以+=1，即λ+μ=t∈0,1.



tt

综上，λ+μ的取值范围是[0,1].

故选：C.

2(2024·陕西西安高一西北工业大学附属中学校考阶段练习·)在ΔABC中，M为边BC上的任意一

1

点，点N在线段AM上，且满足AN=NM，若AN=λ