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(完整版)关于行列式的一般定义和计算方法

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关于行列式的一般定义和计算方法

n阶行列式的定义

n阶行列式=

（

（1）

N阶行列式是N!项的代数和;

3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;

特点：（1)(项数）它是3！项的代数和；

（2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:

（3）(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123，231,312.

它们都是偶排列；

三个负项的列标构成的排列为321，213，132,

它们都是奇排列.

§行列式的性质

性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。

即=；

行列式对行满足的性质对列也同样满足。

性质2互换行列式的两行(列），行列式的值变号。

如:D==ad—bc，=bc-ad=-D

以r表第i行，C表第j列。交换 i，j两行记为r,交换i，j两列记作CC。

性质3:如果一个行列式的两行（或两列)完全相同，那么这个行列式的值等于零.

性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。（第i行乘以k，记作r)

推论1:一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。

推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零.

推论3:如果一个行列式的某二行(或某二列)的对应元素成比例，那么行列式值等于零。

性质5：如果行列式D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。=+

性质6：把行列式的某一行(或某一列)的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。

推论如果行列式的某一行（列)的每个元素都是m个数之和(m2)，则此行列式等于m个行列式之和。

一个n阶行列式,如果它的元素满足：;试证：当n为奇数时,此行列式为零.

每一行（或列)提出一个（—1），再转置得D=(-1）nD

性质7行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.

按行：

按列:

将性质7与Laplace定理合并为下列结论:

（1）

和（2）

行列式的计算

1．利用行列式定义直接计算

例1计算行列式

解Dn中不为零的项用一般形式表示为

。

该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于,故

2．利用行列式的性质计算

例2一个n阶行列式的元素满足

则称Dn为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式为零.

证明：由知，即

故行列式Dn可表示为

由行列式的性质

当n为奇数时,得Dn=－Dn，因而得Dn=0。

3．化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3计算n阶行列式

解:这个行列式的特点是每行(列）元素的和均相等,根据行列式的性质，把第2，3,…，n列都加到第1列上，行列式不变，得

4．降阶法

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

例4计算n阶行列式

解将Dn按第1行展开

。

5．逆推公式法

逆推公式法:对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1,Dn－2之间的一种关系——称为逆推公式（其中Dn，Dn－1,Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。

例5证明

证明：将Dn按第1列展开得

由此得递推公式：，利用此递推公式可得

6．利用范德蒙行列式

例6计算行列式

解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行,便得范德蒙行列式

7．加边法（升阶法）

加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法.

例7计算n阶行列式

解：

（箭形行列式）

8．数学归纳法

例8计算n阶行列式

解：用数学归纳法.当n=2时

假设n=k时，有

则当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开,得

由此,对任