鲁京津琼专用2025版高考数学大一轮复习第十章计数原理第3讲二项式定理练习含解析.docVIP

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第3讲二项式定理

一、选择题

1.(2024·四川卷)设i为虚数单位，则(x＋i)6的绽开式中含x4的项为()

A.－15x4 B.15x4

C.－20ix4 D.20ix4

解析(x＋i)6的绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－rir(r＝0，1，2，…，6)，令r＝2，得含x4的项为Ceq\o\al(2,6)x4i2＝－15x4，故选A.

答案A

2.(2024·漳州模拟)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(n)的绽开式中，只有第5项的二项式系数最大，则绽开式的常数项为()

A.－7 B.7

C.－28 D.28

解析依题意有eq\f(n,2)＋1＝5，∴n＝8.二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(8)的绽开式的通项公式Tk＋1＝(－1)keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(8－k)Ceq\o\al(k,8)x8－eq\f(4,3)k，令8－eq\f(4,3)k＝0得k＝6，故常数项为T7＝(－1)6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)Ceq\o\al(6,8)＝7.

答案B

3.(2015·湖北卷)已知(1＋x)n的绽开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()

A.29 B.210 C.211 D.212

解析由题意，Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选A.

答案A

4.(2024·郑州质检)二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(\r(3),6)))eq\s\up12(6)的绽开式的其次项的系为－eq\r(3)，则eq\i\in(－2,a,)x2dx的值为()

A.eq\f(5,3) B.eq\f(7,3) C.3 D.eq\f(11,3)

解析∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(ax)6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,6)a6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)))eq\s\up12(r)x6－r，

∴其次项的系数为Ceq\o\al(1,6)a5·eq\f(\r(3),6)＝－eq\r(3)，∴a＝－1，

∴eq\i\in(－2,a,)x2dx＝eq\i\in(－2,－1,)x2dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(－1,－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)))＝eq\f(7,3).

答案B

5.(2024·海口调研)若(x2－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的绽开式中x6的系数为30，则a等于()

A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C.1 D.2

解析依题意，留意到eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的绽开式的通项公式是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·x10－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,10)·x10－2r，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(10)的绽开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别为Ceq\o\al(3,10)、Ceq\o\al(2,10)，因此由题意得Ceq\o\al(3,10)－aCeq\o\al(2,10)＝120－45a＝30，由此解得a＝2，选D.

答案D

6.已知Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋23Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝729，则Ceq\o\al(1,n)