专题30 圆篇（原卷版）.pdf

专题30圆

考点一：垂径定理

知识回顾

1.圆的定义：

定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形

叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆

O”．

定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。

2.与圆有关的概念：

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等。

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半

圆的弧叫做劣弧。

3.垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

4.垂径定理的推论：

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。

微专题

1．（2022•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦

AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为m．

2．（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC

的长为．

3．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，

则BC的长为．

第3题第4题

4．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为

2厘米，则镜面半径为厘米．

5．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的

长为．

第5题第6题

6．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这

个花坛的面积为.（结果保留π）

7．（2022•遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．

小组成员查阅相关资料，得到如下信息：

信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；

信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以

BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；

（参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）

根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为千米．

8．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会

显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是．

考点二：圆周角定理：

知识回顾

1.圆心角、弦以及弧之间的关系：

①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应

的其余各组量都分别相等。

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指

同为优弧或劣弧。

2.圆周角的定义：

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

3.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧