2024届湖南省长沙市长郡中学高三下学期期中考试数学试卷.docVIP

2024届湖南省长沙市长郡中学高三下学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★)1.已知集合，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.已知是等差数列的前n项和，，则（）

A．22

B．33

C．40

D．44

(★★)3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)4.已知A，B，C，P为球O的球面上的四个点，△为边长为的等边三角形，以A，B，C，P为顶点的三棱锥的体积的最大值为，则球O的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.若，且，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.设x，，向量，，，且，，（）

A．

B．3

C．4

D．

(★)7.的二项展开式中，第m项的二项式系数是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)8.第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天等可能的随机选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）

A．0.75

B．0.7

C．0.56

D．0.38

二、多选题

(★★)9.设样本数据的平均数为，中位数为，方差为，则（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则样本数据的分位数为11

(★★)10.椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（）

A．椭圆C的焦距为2

B．的周长为8

C．椭圆C的离心率为

D．的面积为

(★★★)11.下列结论正确的是（）

A．

B．

C．

D．

三、填空题

(★★★)12.已知直线与圆相交，则直线过的定点是______;直线被圆截得的最短弦长等于______.

(★★)13.复数满足，则__________．

(★★)14.已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．

四、解答题

(★★)15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求的值；

(2)若，的面积为，求的周长．

(★★★)16.某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.

(1)求关于的经验回归方程；

(2)该市航空公司预计2024年航班正点率为，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数；

(3)根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望.

附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

(★★★)17.在四棱锥中，平面平面为棱的中点.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

(★★★)18.已知椭圆C：，离心率，且点在椭圆上.

(1)求该椭圆的方程；

(2)直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，且，求的面积.

(★★★★)19.已知函数.

(1)当时，若有两个零点，求实数的取值范围；

(2)当时，若有两个极值点，求证:；

(3)若在定义域上单调递增，求的最小值.