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2024高考讲义：基本初等函数知识梳理

目录

1.指数与指数函数1

Li.指数式的化简与求值1

1.2.指数函数的图像和性质2

1.3.指数函数的综合应用4

2.对数与对数函数4

2.1.对数及其运算4

2.2.对数函数的图像及其性质6

3.某函数9

3.1.寡函数的定义9

3.2.函数的图像和性质9

4.幕函数的大小比较12

1.指数与指数函数

L1.指数式的化简与求值

1、化简原则：

①化根式为分数指数抵；

②化负指数幕为正指数幕；

③化小数为分数；

④注意运算的先后顺序。

提醒：有理数指数的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来

运算。

2、结果要求：

①题目以根式形式给出，则结果用根式表示；

②题目以分数指数形式给出，则结果用分数指数幕形式表示；

③结果不能同时含有根式和分数指数累，也不能既有分母又有负分数指数

幕。

例1-1.已知“,力，则化简二a一3的结果是()。

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—

A、—J1-4〃B、J4a—1c、J4a—1

D、Ji—4。

变式1-1.化简G.妫的结果是（）o

变式1-2.已知x+-=3,求下列各式的值：l（）/+x；2（尸2+婷；⑶

3_3

小+f2。

1.2.指数函数的图像和性质

1、定义：一般地，函数八）二优（。＞。且4）叫做指数函数，其中X是自

变量。

①当0V4V1时，XT+8,/幻（-0；。的值越小，图像越靠近丁

轴，递减的速度越快c

②当。＞1时，XT-8,73-）（；，的值越大，图像越靠近）

轴，递增的速度越快。

2（）画指数函数且。。1）的图像，应抓住三个关键点：

1（，叽0（』）、*）。

注意：与指数函数有关的函数的图象问题的研究，往往利用相应指数函数

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的图象，通过平移、对称变换得到其图象。一些指数方程、不等式问题的求

解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解。

⑶熟记指数函数、〃“）=2、而:/⑺二弓）,在同一坐

标系中图像的相对位置，由此掌握指数函数图像的位置与底数大小的关系。

4（）在有关根式、分数指数幕的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点

处理问题，通过解方程组（）来求值，或用换元法转化为方程来求解。

5（）比较指数值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等。是用指数

函数的单调性，还是用幕函数的单调性。要注意指数函数图象和幕函数的图象

的应用，指数函数的图象在第一象限内“底大图高逆（时针方向底数依次变

大）”。还应注意中间量。、।等的运用。

注意：1（）指数函数的定义域为所有实数的集合，值域为大于。的实数集

合，这里的前提是〃大于。，对于。不大于。的情况，则必然使得函数的定义域

不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

2（）可以看到一个显然的规律，就是当。从。趋向于无穷大的过程中当（然不

能于0），函