江苏省靖江高级中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题（含答案解析）.docx

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江苏省靖江高级中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，且，则（????）

A． B． C．2 D．4

2．设，则“”是“”成立的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知锐角满足，则（????）

A． B． C． D．

4．复数的虚部为（????）

A． B． C． D．1012

5．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

6．设，且，则下列结论正确的个数为（????）

①????②????③????④

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则（????）

A． B． C． D．

8．三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知是边长为4的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法正确的是（????）

A．在方向上的投影向量的模为2

B．

C．

D．若为外接圆上任意一点，则

10．已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次记为，若，则（????）

A．

B．的最小正周期为

C．将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则在上的值域为

D．若函数，则在上有4个零点

11．已知函数的定义域为，，且当时，；当时，单调递增，则（????）

A． B．

C．是奇函数 D．

三、填空题

12．已知数列满足，则的通项公式为.

13．在中，角的对边分别是，若，则最小角的正弦值为.

14．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是；为的中点，则三棱锥体积的最小值为.

四、解答题

15．在中，角对应的三边分别是，，，且.

(1)求角的值；

(2)若，，求的面积.

16．已知数列前项和为，满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前100项和.

17．如图1，菱形的边长为4，，是的中点，将沿着翻折，使点到点处，连接，得到如图2所示的四棱锥.

(1)证明：；

(2)当时，求平面与平面的夹角的正弦值.

18．已知椭圆的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，与直线交于点.

①设内切圆的圆心为，求的最大值；

②设，证明：为定值.

19．设函数定义域为，若，，则称为“循环函数”.

(1)试问函数是否为“循环函数”？说明你的理由.

(2)已知函数，证明：存在常数，使得为“循环函数”.

(3)已知对任意，函数，都满足.

.

①证明：为“循环函数”；

②若，证明：当时，.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

D

C

B

D

C

D

A

ABD

BC

题号

11

答案

ACD

1．A

【分析】确定集合，后，根据交集的结论可得参数值．

【详解】，，

又∵，∴，，

故选：A．

2．D

【分析】根据充分、必要条件的定义判断．

【详解】时，，但仍然有，因此不充分，

时，，但仍然有，因此不必要．

故选：D．

3．C

【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式化简，再结合诱导公式及余弦函数单调性求解.

【详解】由，得，

因此，由，得，

又余弦函数在上递减，则，所以.

故选：C

4．B

【分析】由的性质利用分组求和法求得后可得．

【详解】

,

则所求虚部为.

故选：B．

5．D

【分析】根据条件，利用几何关系得到，又，得到，再结合双曲线的定义得到，即可求解.

【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接，

因为为正三角形，，所以为的中点，所以，

故，易知，所以，

由双曲线的定义知，