广东六校2025届高三上学期十二月联考数学试题（含答案解析）.docx

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广东六校2025届高三上学期十二月联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（????）

A． B． C． D．

2．命题“”的否定是（????）

A． B．

C． D．

3．已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（????）

A． B．

C． D．

4．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（????）

A． B． C． D．

5．已知，且，则的最小值为（????）

A．4 B． C．6 D．8

6．将曲线（为自然对数的底数）绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（???）

A． B． C． D．

7．如图，在已知正方体中，是棱上的点，且.平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数，若有两个零点.，则的值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（???）

A．

B．

C．若，则

D．若，则

10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（????）

A．当最大

B．使得成立的最小自然数

C．

D．中最小项为

11．如图，在直三棱柱中，，Q是线段的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是（????）

A．三棱锥的体积为定值

B．直线与所成角的正切值的最小值是

C．在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球

D．的最小值为

三、填空题

12．已知向量，若与垂直，则等于.

13．已知数列的前项和为，则数列的前项和.

14．若存在（互不相等），满足，则的取值范围为.

四、解答题

15．在中，角对应的三边分别是，且

(1)求角的值;

(2)若，求的面积.

16．已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上.

(1)求椭圆的标准方程和离心率；

(2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围.

17．如图所示，已知四棱锥中，，.

??

(1)求证:平面；

(2)当四棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.

18．已知函数.

(1)若，求函数的极值；

(2)讨论的单调性；

(3)若是的两个极值点，证明：.

19．给定正整数，设数列是的一个排列，对表示以为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度），表示以为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，.例如数列：，则.，.

(1)若，求和；

(2)求证：；

(3)求的最值.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

A

C

D

C

A

B

ACD

ABD

题号

11

答案

ABD

1．D

【分析】根据不等式解法可得集合，再由指数函数单调性可得，再由交集运算得出结果.

【详解】易知，

再由指数函数的单调性可得时，即，

因此.

故选：D

2．B

【分析】根据含有一个量词命题的否定形式可得结论.

【详解】易知命题“”的否定是“”.

故选：B

3．A

【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.

【详解】在中，取为基底，

因为点分别为的中点，，

所以，

所以.

故选：A.

4．C

【分析】根据变换规则得出函数的解析式，再求出单调区间的表达式对选项逐一判断可得结果.

【详解】依题意可得，

若单调递减，则，

解得；

观察选项可知，只需写出在上的单调递减区间即可，

易知当时，单调递减区间为，只有，

可得为函数单调递减区间.

故选：C

5．D

【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为8.

【详解】由可得：

；

当且仅当，即当时，等号成立.

即的最小值为8.

故选：D.

6．C

【分析】设直线与曲线相切，设切点为，根据导数的几何意义求出切点，再由题意可得即可得解.

【详解】设直线与曲线相切，设切点为，

，

则有，

，解得，所以，

所以切点为，

将曲线（为自然对数的底数）绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，

则.

故选：C.

7．A

【分析】作出截面，利用台体的体积公式求出较