一元二次方程的整数根问题 题集【A】(教师版)--初中数学四维三难【人教版】.pdf

一元二次方程的整数根问题题集【A】

1.判别式为完全平方式

1.当整数取何值时，关于的方程的根为整数．

【答案】，，．

【解析】当时，，

当时，该方程为一元二次方程，，，

∵和为整数，

∴，

综上，当，，时，方程的根为整数．

【标注】【知识点】整数根-分离常数法

2.关于的方程的根为正整数，且为整数，求的值．

【答案】或或或．

【解析】当时，方程可化为，

有整数根，满足题意．

当时，∵，

，

或，

∴，

．

又∵该方程的根为正整数且为整数，

∴为大于的整数，

∴或或．

则的值为或或或．

【标注】【知识点】整数根-分离常数法

3.

1

已知为整数，且关于的方程有两个不相等的正整数根，求的

值．

【答案】．

【解析】原方程化为：．

所以，．

因方程的根为正整数，

因而推知，此时，．

【标注】【知识点】整数根-分离常数法

4.已知关于的方程．

（1）求证：无论常数取何值，方程总有实数根．

（2）当整数取何值时，方程有两个整数根．

【答案】（1）证明见解析．

（2）或或或．

【解析】（1）①当即时，方程化成，解得，

②当即时，方程是一元二次方程，

，，，

∴，

∴方程总有两个不相等的实数根，

∴综上所述，无论常数取何值，方程总有实数根．

（2）

，

∴，，

而，

∴当，时，为整数，

即或或或，方程有两个整数根．

【标注】【知识点】整数根-分离常数法

5.已知关于的一元二次方程．

（1）证明：不论为何值时，方程总有实数根．

2

（2）为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

（3）若一元二次方程的两个实数根，，满足，求的值．

【答案】（1）证明见解析．

（2）．

（3）