一元二次方程的整数根问题【选讲】(教师版)--初中数学四维三难【人教版】.pdf

一元二次方程的整数根问题【选讲】

一、课程目标

会用公式法或因式分解法解含参一元二次方程，会用一元二次方程的解法解决整数根问题．

二、知识讲解

思考

已知一元二次方程的的求根公式，如果方程的根为整数，求根公式至少要满足哪些条

件？

1.判别式为完全平方式

如果为完全平方公式，可以确定一点，方程的根可以直接求解．

求解的方法有两种：因式分解法、公式法．

①因式分解法：常用十字相乘法；

②公式法：可以直接代入求根公式

求出解后，化成分子为常数的分式的形式，根据整数根，分子和分母的整除关系，求出符合题意的整数

根．

用求根公式解整数根问题用到的方法是分离常数法，目的是把分子上的字母拆分出来，只讨论分母

中的字母什么时候取值，能让式子变为一个整数．

【拓展】

①若解得，则，，再求解．

②若解得，则化简为，则，，再求解．

③若解得，则化简为，则，，再求解．

④若解得，则化简为，则

，，再求解．

⑤若解得，则化简为

，则，，，

1

再求解．

例题1

1.已知：关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．

（2）为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？

【答案】（1）证明见解析．

（2）或．

【解析】（1）∵．

∴方程总有两个不相等的实数根．

（2）∵，．

由求根公式解得，．

∵方程的两个根都为正整数，是整数且，

∴是正整数．

∴或．

∴或．

【标注】【知识点】一元二次方程根的判别式

2.已知关于的方程．

（1）求证：方程总有两个实数根．

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．

【答案】（1）证明见解析．

（2）或．

【解析】（1）依题可知：

．

∴方程总有两个实数根．

（2）原方程可化为，

2

解得，．

由题意可知，方程的两个实数根均为整数，

∴必为整数，

又∵为正整数，

∴或．

【标注】【知识点】一元二次方程根的判别式

练习1

1.已知：关于的一元二次方程．

（1）求证：方程有两个实数根．

（2）设，且方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且