一阶倒立摆系统模型分析、状态反馈与观测器设计.pptVIP

一阶倒立摆系统模型分析、状态反馈与

观测器设计图1.一级倒立摆模型注意：后面建立倒立摆数学模型过程中忽略了空气阻力和弹性形变等。建立一级倒立摆数学模型首先对摆杆进行受力分析，如图2所示。其中H表示摆杆受到的水平方向力，N表示摆杆所受的竖直方向的力，摆杆所受的旋转摩擦力矩用表示，则得到摆杆平面运动微分方程。图2.摆杆受力分析图水平方向：01摆杆质心的水平位移02摆杆受到的水平方向力03竖直方向04摆杆质心的竖直位移：05摆杆受到的竖直方向力06绕质心的转动07消去H和N可得02则得04根据以上方程可得01由03根据系统最终的控制方式，给系统施加的控制量是车体的加速度，因此选择加速度为系统的输入，从而可得倒立摆系统的运动学方程：01根据以上系统方程可以看出倒立摆模型是非线性的。为了应用线性系统理论，可在倒立摆平衡位置附近对系统进行线性化，取，令02并忽略高次项，可得如下方程：03可以用线性系统理论对倒立摆系统进行控制，选择状态变量x。01则状态空间表达式可表示为：02倒立摆系统参数如下代入数据计算得状态空间表达式：倒立摆数学模型分析01稳定性分析根据特征方程的根来判断系统的稳定性，由计算得特征根为知系统是不稳定的。02可控性分析由知系统是完全能控的，满足特征值可任意配置的极点配置定理。可观测性分析01由02可知系统完全能观，满足全维观测器极点配置条件。03对于系统的状态方程状态反馈的基本结构为：K为状态反馈增益阵。3.状态反馈状态反馈闭环系统的状态空间表达式为：01状态反馈实际上是通过状态反馈增益阵K的选择来改变闭环系统的特征值，从而获得系统所要求的性能。反之，可以根据系统所要求的性能来确定闭环系统的特征值，进而确定K的值（对应于极点配置的内容）。02主导极点为3经计算取，1可得系统特征方程为2假设系统要求超调量不超过10%，调整时间为2s，根据公式4.极点配置对于倒立摆系统，选取其余n-2=2个期望的闭环极点（选取的闭环极点应远离主导极点）。则取为因此得期望的闭环特征多项式为：壹贰对于原被控系统，引入反馈后闭环系统特征多项式为比较可求得03040201解得则反馈增益阵为状态反馈通过调整K能任意配置闭环系统的极点，有效地改善系统的性能。同时，系统解耦、镇定、渐近跟踪以及最优控制等都离不开状态反馈。但状态反馈的前提条件是必须得到系统内部的各个状态变量，而系统的状态变量往往比较难获取，甚至是无法测量，因此需要设计状态观测器来重构系统的状态。状态观测器的定义：01设系统的状态x不能直接检测，构造一个动态系统，以的输入u和输出y为输入量，能产生一组输出量渐进与x，使02则称为的状态观测器。034.状态观测器设计状态观测器的方程为：1虚线框为状态观测器，状态逼近的速度取决于G的选择和A-GC的配置。2倒立摆系统状态观测器的设计：01根据观测器综合原则，可取期望的观测器特征值为-20，-20，，02采用极点配置算法可计算得观测器增益矩阵G为03计算04带状态观测器的状态反馈系统为5.仿真分析基于全维状态观测器下的倒立摆控制系统仿真：仿真结果从仿真结果看，控制性能满足系统要求的性能指标。状态估计值与系统状态比较