2025学年山东省青岛市第十九中学2024——高二上学期期中考试数学试卷.docVIP

2025学年山东省青岛市第十九中学2024——高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★)1.经过、两点椭圆的标准方程是（）

A．

B．

C．

D．

(★)2.已知，，若，则（）

A．4

B．2

C．11

D．3

(★★)3.直线m，n的方向向量分别为，平面的法向量为，则下列选项正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

(★★)4.已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.已知圆和圆相交于，两点，则下列结论中错误的是（）

A．两圆相交

B．直线AB的方程为

C．两圆有两条公切线

D．线段AB的长为

(★★)6.“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，面ABCD，，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则异面直线与所成角的正弦值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.过直线上一点作：的两条切线，切点分别为，，若使得的点有两个，则实数的取值范围为（）

A．

B．

C．或

D．或

(★★★)8.阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.已知，，则下列说法中正确的是（）

A．如果，那么

B．如果，那么

C．如果互斥，那么

D．如果互斥，那么

(★★★★)10.已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（）

A．若的周长为6，则

B．若当时，的内切圆半径为，则

C．若存在点，使得，则

D．若的最大值为2b，则

(★★★★)11.在边长为1的正方体中，为中点，连接，、分别为线段的两个三等分点，为中点，下列说法正确的有（）

A．直线与直线所成角的余弦值为

B．平面与平面所成角的余弦值为

C．在平面内，存在点使得，点的轨迹长度为

D．在线段上存在两个点，使得

三、填空题

(★★)12.已知平行直线，则.与的距离是__________.

(★★)13.椭圆C的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线另交椭圆C与点B，若，则C的离心率为______.

(★★★)14.甲乙两人掷骰子，约定掷出质数甲得一分，掷出合数乙得一分，并约定先达到两分者获胜，此时游戏结束.问：若最多进行三局，则甲胜的概率是______；恰好进行三局游戏结束的概率是___

四、解答题

(★★★★)15.2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值;

(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数;

(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.

（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）

(★★★)16.已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：

(1)点和点的坐标：

(2)在边上是否存在一点，使得平分，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由.

(★★★)17.在平行六面体中，，，.

(1)求的长