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数学竞赛中方程整数解的实用求法

(本讲适合初中)

近年来，在各级各类数学竞赛中，方程整数解的问题备受关

注，它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相综合，涉及面

宽、范围广，往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧.

笔者根据自己的体会讲讲求解这类问题的方法和基本思考途径，

供读者参考.

1不定方程的整数解

一般地，不定方程有无数组解.但是，若加上限制条件如整

数解等，就可以求出确定的解.由于含参数的方程的整数解多能

转化为不定方程求解，所以先讲不定方程整数解的求法.常用的

有下述三种方法.

1.1因式分解法

这是最常用的方法，它适用于一边可以分解因式，另一边为

常数的方程.根据是正整数的惟一分解定理：每一个大于1的正

整数都可以惟一地分解成素数的乘积.方法是分解常数后构造方

程组求解.

＋＋

例1求方程xyxy＝6的整数解.

(1996，湖北省黄冈市初中数学竞赛)

解：方程两边加上1，得

＋＋＋

xyxy1＝7.

左边＝(x＋1)(y＋1)，

右边＝1×7＝(－1)×(－7).

故原方程的整数解由下列方程组确定：

x1＝1，x1＝7，





y1＝7；y1＝1；



x1＝－1，x1＝－7，





y1＝－7；y1＝－1.



x＝0，x＝6，x＝－2，x＝－8，





解得1234



y＝6；y＝0；y＝－8；y＝－2.



1234

1.2选取主元法

1

有些含有二次项的不定方程，可以选取其中的某一变量为主

元，得到关于主元的二次方程，再用根的判别式△≥0定出另一

变量的取值范围，在范围内选出整数值回代得解.

xy3

例2求方程＝的所有整数解.

227

xxyy

(第十二届全俄数学竞赛)

解：以x为主元，将方程整理为

22

3x－(3y＋7)x＋(3y－7y)＝0

因x是整数，则

22

△＝［－(3y＋7)］－4×3（3y－7y）≥0

2114321143

≤y≤

99

整数y＝0，1，2，3，4，5.

将y的值分别代入原方程中计算知：只有y＝4或5时，方

程才有整数解，即

x＝5，y＝4；x＝4，y＝5.

1122

1.3整式分离法

当分式中分子的次数不小于分母的次数时，可将分子除

以分母，把整式(即所得商式)分离出来.若所得余式为常数，

则用倍数约数分析法求解较容易；若余式不是常数，则可以根

据实际情况构造二次方程，选取原先变量为主元求解.

例3题目同例1.

6y