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线性函数与线性方程组的解法

目录线性函数线性方程组线性方程组的解法（续）线性方程组的应用线性方程组与矩阵的关系CONTENTS

01线性函数CHAPTER

0102线性函数的定义在坐标系中，线性函数表示一条直线，其中$a$控制直线的斜率，$b$控制直线在y轴上的截距。线性函数是指形式为$y=ax+b$的函数，其中$a$和$b$是常数，$aneq0$。

线性函数的奇偶性线性函数是非奇非偶函数，因为对于任意x值，都有$f(-x)neq-f(x)$且$f(-x)neqf(x)$。线性函数的值域线性函数的值域为全体实数集$mathbb{R}$。线性函数的增减性当$a0$时，函数为增函数；当$a0$时，函数为减函数。线性函数的性质

线性函数的图像线性函数的图像是一条直线，其斜率为$a$，在y轴上的截距为$b$。当$a0$时，直线从左下方向右上方倾斜；当$a0$时，直线从左上方向右下方倾斜。

02线性方程组CHAPTER

由有限个线性方程组成，其中每个方程包含一个或多个未知数。线性方程组需要求解的变量。未知数未知数和常数通过加、减、乘运算构成的等式。线性方程线性方程组的定义

将一个或多个方程中的未知数用其他方程中的已知数表示，代入其他方程求解。代入法通过加减消元或乘除消元，将多个方程化简为少数几个方程，再求解。消元法将线性方程组表示为矩阵形式，利用矩阵的性质和运算规则求解。矩阵法线性方程组的解法

解的唯一性当线性方程组有唯一解时，该解是确定的。无数解当线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，方程组有无穷多解。无解当线性方程组的系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩时，方程组无解。线性方程组的解的性质

03线性方程组的解法（续）CHAPTER

消元法的原理通过消元法，将线性方程组转化为一个单一的方程，从而求解未知数。消元法的步骤首先将方程组中的系数矩阵进行行变换，使其中一个系数变为零，然后对方程组进行求解。消元法的适用范围适用于系数矩阵非奇异的线性方程组。消元法030201

代入法的步骤首先选择一个方程中的未知数，将其表示为其他未知数的函数，然后将其代入到其他方程中求解。代入法的适用范围适用于系数矩阵行列式不为零的线性方程组。代入法的原理通过将一个方程中的未知数用另一个方程表示出来，然后将其代入到另一个方程中，从而求解未知数。代入法

高斯-约旦消元法适用于系数矩阵非奇异的线性方程组。高斯-约旦消元法的适用范围高斯-约旦消元法是消元法的一种改进，通过将系数矩阵转化为上三角矩阵，然后求解未知数。高斯-约旦消元法的原理首先将系数矩阵的上三角部分进行元素替换，使其对角线上的元素变为1，然后利用回带法求解未知数。高斯-约旦消元法的步骤

04线性方程组的应用CHAPTER

线性方程组可以用来描述几何图形的位置关系和运动轨迹。例如，两点之间的距离、线段的斜率、平行四边形的面积等都可以通过线性方程组来表示。线性方程组还可以用来解决几何问题，如求解三角形、四边形、多边形的面积和周长等。在几何中的应用

在经济学中的应用线性方程组在经济学中有着广泛的应用，如描述供需关系、成本与收益分析、投资组合优化等。线性方程组可以用来解决经济学中的优化问题，如求解最大利润、最小成本等。

线性方程组在物理学中也有着广泛的应用，如描述物体的运动轨迹、电磁场的分布、热传导等。线性方程组还可以用来解决物理学中的一些基本问题，如求解波动方程、弹性力学问题等。在物理学中的应用

05线性方程组与矩阵的关系CHAPTER

矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，通常表示为二维数组。定义矩阵具有行数和列数，且行数和列数可以相等或不相等。矩阵中的元素遵循一定的代数规则。性质矩阵的定义与性质

加法01两个同维数的矩阵可以相加，结果是一个同维数的矩阵，其元素是对应元素的和。数乘02一个标量与一个矩阵相乘，得到一个新的矩阵，其元素是原矩阵对应元素与标量的乘积。乘法03两个矩阵相乘，需要满足一定的条件，如第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。乘积是一个新的矩阵，其元素是原矩阵对应元素乘积的和。矩阵的运算

线性方程组的矩阵表示01线性方程组可以用增广矩阵表示，增广矩阵是系数矩阵和常数项矩阵的组合。02通过行变换，可以将增广矩阵转化为行最简形式，从而求解线性方程组。行变换包括交换两行、将一行乘以一个非零标量、将一行加上另一行的倍数等。03

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