三角函数的实际应用【解析】.docx

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三角函数的实际应用【解析】

一、解答题

1．如图，小巴和小量两位同学假期一起去科技馆参观，两人同时从出入口A出发，先一起沿A的北偏西75°方向走到国防科技厅C．接下来，小巴沿C的东南方向行走600m到达B继续参观交通科技厅，再沿B的北偏东60°方向走回出入口A；小量则对D展厅的青少年梦工厂活动更感兴趣，他从C出发先沿正东方向走到梦工厂D，参加活动后沿D的正南方向行走回到出入口A．（参考数据：2≈1.414

（1）求A，C两地之间的距离（结果保留整数）；

（2）若小巴和小量匀速行走且速度相同（在B，D停留的时间相同），哪位同学先回到出入口A？请通过计算说明．

【答案】（1）820

（2）小量，理由见解析

【分析】对于（1），先确定各角的度数，作BE⊥AC，再根据sin∠BCE=

对于（2），过点B作CD的平行线，交DA的延长线于点G，作CH⊥B

再根据勾股定理求出BH=CH，AB，然后结合sin∠B

【详解】（1）如图所示．

由题意可知∠C

∴∠C

∴∠A

在Rt△AC

∴∠A

∴∠B

过点B作BE⊥AC，交

在Rt△CB

∴sin∠BC

即BE=600

在Rt△AB

∴AE

∴AC

（2）小量先到．

理由如下：过点B作CD的平行线，交DA的延长线于点G，过点C作CH⊥B

∴∠G

在Rt△CB

∴∠C

∴BH

根据勾股定理，得BH

解得BH

在Rt△AB

根据勾股定理，得AB

解得AB

在Rt△AB

∴sin∠BA

即BG=300

∴CD=H

∴小量行走的路程是AC

小巴行走的路程是AC

∵1844.

∴小量先回到入口．

【点睛】这是一道关于解直角三角形的应用的题目，主要考查了正弦，余弦，勾股定理，等角对等边等，作出辅助线是解题的关键．

2．如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资，甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港，再沿东南方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港，再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．（参考数据：2≈1.41，

(1)求B，C两港之间的距离；

(2)若甲货轮的速度为20海里/小时，乙货轮的速度为30海里/小时（停靠B，D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．

【答案】(1)B，C两港之间的距离约为40海里

(2)乙货轮先到达C港，理由见解析

【分析】本题考查了解直角三角形的应用?方向角问题．

（1）过点C作CM⊥AB，垂足为M，先在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AC，再在Rt

（2）分别求出甲货轮航行的路程=AD+

【详解】（1）解：过点C作CM⊥A

∵甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港，再沿东南方向航行一定距离到达C港，

∴∠ADC=90

∴AD

∴AC

∵乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港，再沿北偏西15°方向航行一定距离到达

∴∠CAM

∴∠A

在Rt△AC

∴CM=

在Rt△BC

∴CB=

∴B，C

（2）解：乙货轮先到达C港，理由如下：

∵甲货轮航行的路程=A

∴甲货轮航行的时间=80

∵乙货轮航行的路程=A

∴乙货轮航行的时间=20

∵3.91

∴乙货轮先到达C港．

3．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D

(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）

(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：2≈1.41，3≈

【答案】(1)小山B与亭台D之间的距离602

(2)小玲先到达寺庙C处

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．

（1）作BE⊥AD于点E，在Rt△

（2）延长AB，作DF⊥BA于点F，作CG⊥BA于点G，则∠CBG=

【详解】（1）作BE⊥A

由题意知，AB=60，∠A=45

在Rt△A

在Rt△BDE中，

∴小山B与亭台D之间的距离602

（2）延长AB，作DF⊥BA于点F，作C

由题意知，CD

∴四边形CD

∴CG

∵AE=30

∴AD

在Rt△AFD中，

在Rt△BCG

∴

∴S

S明

∵141.2

∴小玲先到．

答：小玲先到达寺庙C处．

4．重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点A处观测到文峰塔最高点P的仰角为45°，再沿正对文