棱切球模型备课教师版.docx

棱切球

正方体

1已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（????）

A．2：3 B．3：2 C． D．

【答案】A

【解析】设正方体棱长为，

因为球与正方体的各条棱相切，所以球的直径大小为正方体的面对角线长度，

即半径；

正方体内接于球，则球的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径；

所以球与球的表面积之比为.

正四面体

2.已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，正方体中，棱长为，

所以，四面体是棱长为的正四面体，

当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为，

所以，该球的体积为，

因为正四面体的体积为，

所以，该球与此正四面体的体积之比为.

故选：A

3.正四面体P-ABC的棱长为4，若球O与正四面体的每一条棱都相切，则球O的表面积为（????）

A．2π B．8π C． D．12π

【答案】B

【解析】将正四面体补成一个正方体球与正四面体的棱都相切．

则球与正方体的内切球，设正方体边长为，

故选：B.

4．正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】如图，将棱长为的正四面体补形为棱长为的正方体，则正方体的内切球即为正四面体的棱切球，所以正四面体的棱切球的半径为，

所以棱切球的体积为．

故选：C．

5（2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1，以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切，若点

A．2 B．74 C．34

【解题思路】取AB中点E，根据空间向量的数量积运算得PA?PB=

【解答过程】取AB中点E，可知E在球面上，可得EB=?

所以PA?

????

点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，当PE为直径时，PEmax

所以PA?PB的最大值为

故选：B.

??

6.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为．

【答案】

【解析】

在棱长为2的正四面体中，连接，过作于，如图，

由分别为棱的中点，得，

而平面，

则平面，又平面，于是平面平面，

而平面平面，

因此平面，而，，，则，

球半径，，从而，

球被平面截得的截面圆半径，

所以球被平面截得的截面周长.

又为正四面体，所以球被正四面体的每个面截得的截面都为圆，

且圆的半径为，

所以球被正四面体表面截得的截面周长为.

故答案为：

7．如图，将棱长为2的正方体沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体．

（1）求该四面体的表面积；

（2）求该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）由已知可知四面体是正四面体，正方体的棱长为，其对角线长为，也即正四面体的棱长为，所以表面积为.

（2）∵正方体的棱长为，

∴正方体的体对角线长为，

∵该四面体外接球即为正方体的外接球，而正方体的外接球直径为其体对角线

∴外接球直径，半径，

正四面体的棱切球也即正方体的内切球，所以正四面体的棱切球的半径，

所以，所以该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比为.

所以该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比为.

正三棱锥

8．已知正三棱锥的侧棱长为，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则此正三棱锥的棱切球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

??

如图，连结与底面的中心，则平面，

由题意侧棱与底面所成角，

则，

又因，

所以，

因底面为正三角形，中心为，

所以，即，

所以正三棱锥为正四面体.

??

将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切，

可求得正方体的棱长为，所求棱切球的半径即为．

表面积

故选：B

9．与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长，侧棱

设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中点，连接，过点作垂足为，则，设，

在中，

因为为的中心，则，，

在中即；

在中，，即，

在中，，则；

在中，，则，

在中，，则，

又因为，则，化简得，

由得解得.

故选：C.

10．（2023-24高三上·江西南昌·期末）正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设底面的外接圆的圆心为，连接，延长交于，

球H与棱分别切于，设球H的