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寓开放性、探索性、应用性于数学教学中（初三代数）

题目1：已知正方形ABCD的边长为12cm，在铁皮上剪下一个半圆；

（1）当圆心定在正方形的边上的什么位置时，所截得的半圆最大，这时半圆的面积为多少？

（2）当圆心定在正方形的内部的什么位置时，所截得的面积最大，这时半圆的面积为多少？

解答：

11

22



（1）圆心在正方形的边的中点O时，这时的面积最大。为SR618

22

（2）如图（2），当O定在离C点（24—22）处时，AD

截B得的半圆的面积最大，半圆与正方形ABCD的AB、AD

边切于E、F，半圆O的直径MN分别交BC、CD于M、N，

连接OE、OF。

∴OE⊥AB于E、OF⊥AD于F，∠A=900

∴四边形AEOF为矩形，OE=OF

∴四边形AEOF为正方形。BOC（图1）

设半圆O的半径为R，则OA=2R，AC=122

⌒⌒

又∵EF被AC垂直平分，则有BE=FN，

∴△EBM≌△FDN

∴BM=DN

∴MC=CN

∴有△MNC为等腰直角三角形，AFD

∴OC=R

∴2122N

122122（2—1）

∴24—122EO

2

21（2）—1

BMC（图2）

111

22



∴S=（24—122）144（6—42）72（6—42）

半222

来源：选自广州市数学研究会中的数学标准化题型中的同步测试中函数一章的13.2函数P29.2改

编。

作者：陈少欢学校：市桥侨联中学

内容：代数，第十四章《统计初步》

题目2：一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如下：

分数5060708090100

甲组251013146

人数

乙组441621212

已经算得两个组的人均分都是80分，请你根据所学过的统计知识,进一步判断这两个组这次竞

赛中成绩谁优谁次，并说明理由。

来源：1998年安徽省中考题

解答：(1)从众数看，甲为90分，乙为70分，甲组成绩较好。

(2)从方差看，可求得S2==172，S2=256，S2S2，甲组成绩波动较乙组要好。