专题31 三角形全等模型-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.pdf

专题31三角形全等模型

一、倍长中线

【典例】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E，且AE＝

EF，求证：BF＝AC．

【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝DF，连接CG．

∵AD是BC边的中线，

∴BD＝CD．

在△BDF和△CDG中

BD=CD

∠=∠，

=

∴△BDF≌△CDG（SAS），

∴BF＝CG，∠BFD＝∠G．

∵AE＝EF，

∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，

∴∠G＝∠CAG，

∴AC＝CG，

∴BF＝AC．

【巩固】（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上

中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：

延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE

中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是1＜AD＜5（直接写出范围即可）．这种解

决问题的方法我们称为“倍长中线法”；

（2）探究应用：

如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接

EF，判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF

的角平分线，试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并说明理由．

【解答】解：（1）如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，

∵D是BC的中点，

∴BD＝CD，

∵∠ADC＝∠BDE，

∴△ACD≌△EBD（SAS），

∴BE＝AC＝4，

在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

∴6﹣4＜AE＜6+4，

∴2＜AE＜10，

∴1＜AD＜5，

故答案为：1＜AD＜5；

（2）BE+CF＞EF，理由如下：

延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．

同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），

∴BM＝CF，

∵DE⊥DF，DM＝DF，

∴EM＝EF，

在△BME中，由三角形的三边关系得：

BE+BM＞EM，

∴BE+CF＞EF；

（3）AF+CF＝AB，理由如下：

如图③，延长AE，DF交于点G，

∵AB∥CD，

∴∠BAG＝∠G，

在△ABE和△GCE中，

CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，

∴△ABE≌△GEC（AAS），

∴CG＝AB，

∵AE是∠BAF的平分线，

∴∠BAG＝∠GAF，

∴∠FAG＝∠G，

∴AF＝GF，

∵FG+CF＝CG，

∴AF+CF＝AB．

二、一线三等角模型

【典例】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】

（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠

2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到

AC＝，BC＝．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

【模型应用】

（2）①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与

直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；

②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），点B为平面内任一点．若△AOB是以OA

为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．

【解答】（1）解：∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，

∴∠1＝∠D，

在△ABC和△DAE中，

∠1=∠D

∠=∠，

=

∴△ABC≌△DAE