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湖南省常德市汉寿县汉寿县第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若复数满足，则（????）

A．1 B． C． D．3

2．已知数列的前项和，则数列的各项中（???）

A．所有项均是数列中的项 B．所有项均不是数列中的项

C．只有有限项是数列中的项 D．只有有限项不是数列中的项

3．冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为（????）

①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1；③均值为3，众数为4；④均值为2，标准差为．

A．①③ B．③④ C．②③ D．②④

4．一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截（如图），为底面圆的中心，为截面的中心，为截面上距离底面最小的点，到圆柱底面的距离为1，为截面图形弧上的一点，且，则点到底面的距离是（????）

A． B． C． D．

5．已知函数为偶函数，且当时，．若，则（????）

A． B．

C． D．

6．已知向量满足，则向量夹角的余弦值为

A． B． C． D．

7．已知正三棱锥，点、、、都在直径为的球面上，若、、两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数的零点分别为，则（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则以下结论正确的是（????）

A．的最大值为1

B．函数的单调递增区间为

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．是函数图象的一个对称中心

10．已知函数，则下列结论正确的是（????）

A．当时，函数在上的最大值为

B．当时，函数的图像关于直线对称

C．是函数的一个周期

D．不存在，使得函数是奇函数

11．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为为坐标原点，直线与交于点，则（????）

A．以为直径的圆与轴相切 B．

C． D．

三、填空题

12．若，，且，则实数的值为．

13．设为正项等比数列(公比)前项的积，若，则

14．为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动．顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示．

奖品

一个健身背包

一盒蛋白粉

概率

则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为．

四、解答题

15．在中，若边对应的角分别为，且．

(1)求角的大小；

(2)若，，求的长度．

16．已知函数在0,+∞上的最大值为.

（1）求的解析式；

（2）讨论的零点的个数.

17．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，分别为，的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)若，求点到平面的距离.

18．有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为.（取）

(1)若，，求；

(2)若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.

19．已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为A?2,0，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求证：直线恒过定点；

(3)斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值.

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