4.2.1等差数列的概念（第一课时）（教案+练习）-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精品备课（人教A版2019选择性必修第二册）.docxVIP

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等差数列的概念第一课时

1.课时教学内容

等差数列的概念

2.课时学习目标

能说出等差数列、等差中项的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；

会用等差数列的通项公式解决简单问题；

3.教学重点与难点

重点∶等差数列的定义，等差数列的通项公式。

难点∶等差数列的通项公式。

4.教学过程设计

环节一情景引入

观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。

1、我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①

2、我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；②

3、2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③

问题1：观察数列①②③你能发现他们的规律吗？

答：对于数列2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①

我们发现：2029=2017+12，2041=2029+12，2053=2041+12，…

换一种写法就是：2029-2017=12，2041-2029=12，2053-2041=12，…

如果用表示数列①，则有：

…

对于数列①，有这样的规律：数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数12。

同样数列②满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数-5。

数列③满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数7。

【设计意图】通过三个例子，让学生研究三个数列的共性，从而得到等差数列的定义。

环节二学习新知：

问题2：什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

对定义的理解：

等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”

条件

从第2项起

每一项与它的前一项的差都等于同一个常数

结论

这个数列就叫做等差数列

有关概念

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示

问题3：你能判断下列数列是否为等差数列吗？

（1）5，9，13，17，21；是

（2）9，7，5，3，1，-1；是

（3）6，6，6，6，6，6；是

（4）0，1，0，1，0，1；不是

【设计意图】熟悉等差数列的定义。

问题4：如果在数与中间插入一个数，使，，成等差数列，那么应满足什么条件？

答：由等差数列定义，有,所以，即。

此时，我们把叫做和的等差中项。

和的等差中项是它们的算术平均数。

问题5：你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？

设数列的首项为，公差为，则由定义可得：

。

追问1：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？

答：由

则有：，，，…。

于是：

……

归纳可得：。

当时，上式为。

首项为为，公差为的等差数列的通项公式为：。

追问2：还有什么其他方法，推导等差数列的通项公式吗？

……

一共有n-1个等式，将它们进行累加，有即

追问3：你能写出以下数列的通项公式吗？

（1）5，9，13，17，21；

（2）9，7，5，3，1，-1；

（3）6，6，6，6，6，6；

答：

（1）；

（2）；

（3）。

追问4：由等差数列的通项公式可以看出，要求，需要哪几个条件？

答：只要求出等差数列的首项和公差，代入公式即可。

问题6：观察等差数列的通项公式，它和哪一类函数有关？

答：因为，

所以当时，是常数函数；

当时，是一次函数当时的函数值，即。

追问1：等差数列的图像与一次函数的图像有什么关系？

答：数列的图像是落在一次函数图像上的一系列点。

追问2：由一次函数得到的数列一定是等差数列吗？

答：任给，则，

，

。

所以数列是以为首项，为公差的等差数列。

数列是公差不为0的等差数列数列的通项公式是关于的一次函数。

追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？

答：

时，等差数列单调递增；

时，等差数列单调递减；

时，等差数列为常数列。

环节三例题解析：

例1：已知等差数列的通项公式为，，求等差数列的首项和公差。

分析：有了通项公式，只要将代入，就能求得，由通项公式写出的表达式，由可求得公差。

解：把代入通项公式，得，当时，，于是，所以数列的首项为3，公差为-2。

追问1：还有其他方法求公差吗？

分析：由于一直数列为等差数列，所以数列中每一项与它前一项的差都等于公差，由于已求出首项为3，只需再求出，即为公差。

解法2：

于是。

所以数列的首项为3，公差为-2。

追问2：你能直接从通项公式看出公差的值