4.2.2 等差数列的前n项和公式（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）.docxVIP

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4.2.2等差数列的前n项和公式

一、单选题

1．在等差数列中，若，则其前9项的和等于（????）

A．18 B．27 C．36 D．9

2．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝（????）

A．6 B．7 C．8 D．9

3．数列{an}满足，且，，是数列的前n项和，则（????）

A． B． C． D．

4．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第19项为（????）

A．290 B．325 C．362 D．399

5．已知各项为正的数列的前n项和为，满足，则的最小值为（）

A．4 B．3 C．22 D．

二、多选题

6．已知等差数列的前n项和为，且，则（）

A．在数列中，最大

B．在数列中，或最大

C．??

D．当时，

7．已知是数列的前项和，，则（????）

A．

B．

C．当时，

D．当数列单调递增时，的取值范围是

8．古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第行有颗，第行第颗石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数，设，则（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

9．若等差数列，的前项和分别为，，满足，则_______.

10．已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为77，则项数的值为___________.

11．已知等差数列的前项和为，，，则___________.

四、解答题

12．已知为数列的前项和，且（，为常数），若，．求：

(1)数列的通项公式；

(2)的最值．

13．已知一个等差数列的前4项和为32，前8项和为56．

(1)求、的值；

(2)通过计算观察，寻找、、、之间的关系，你发现什么结论？

(3)根据上述结论，请你归纳出对于等差数列而言的一般结论，并证明．

14．已知数列中，，（，），数列满足．

(1)证明是等差数列，并求的通项公式；

(2)求；

(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．

参考答案：

1．A

【分析】根据等差数列的性质计算出，利用等差数列求和公式求出答案.

【详解】因为是等差数列，所以，解得：，

所以.

故选：A

2．C

【分析】利用等差数列的性质以及前n项和公式进行求解.

【详解】因为{an}为等差数列，a1＝1，a3＝5，

所以公差，又Sn＝64，

所以，

解得n＝8(负值舍去)．故A，B，D错误.

故选：C.

3．B

【分析】根据递推公式得到数列是等差数列，进而求出公差和通项公式，求出，得到答案.

【详解】数列满足，则数列是等差数列，

设等差数列的公差为.

因为，

所以，即.

所以，

所以，，

，

所以，.

故选：B

4．B

【分析】先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再利用累加法求得，进而可求得.

【详解】设该数列为，则由，，，，…

可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为1，公差为2，故，

故，

则，，，…，，

上式相加，得，

即，故.

故选：B.

5．A

【分析】由数列的递推式可得，继而结合求出，从而求得，由此求出的表达式，利用基本不等式即可求得答案.

【详解】各项为正的数列,,

∵，∴，

∴时，，

化为：，

∵,

又，解得．

∴数列是等差数列，首项为1，公差为2．

∴,

∴,

∴,

，当且仅当n=2时取等号,

∴的最小值为4．

故选：A．

6．AD

【分析】根据，且，可推出，，故，可判断AD正确，B错误，结合等差数列的性质可判断，判断C.

【详解】为等差数列，∵，且，

∴，

即，

∴{an}是递减等差数列，最大，当时，，当时，，

故AD正确，B错误，

，

则，故C错误，

故选：AD．

7．ACD

【分析】A选项，根据，得到，A正确；

与得到，当时，不成立，B错误；

当时，得到为奇数时为等差数列，为偶数时也是等差数列，利用等差数列求和公式得到答案；

D选项，方法一：根据，，，依次类推可知；

方法二：写出，，根据且求出答案.

【详解】，①

时，，②

①－②，，A正确；

当时，，即；

当时，，

∴，时，不满足条件，B错误；

时,因为，所以，则，满足，故此时①，

又②，两式相减得：，

为奇数时是首项为0，公差为2的等差数列，共25项；

为偶数时是首项为1，公