黑龙江省大兴安岭市漠河县一中2024_2025学年高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物.docVIP

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2．4．1平面对量数量积的物理背景及其含义

一、三维目标

学问与技能：1.驾驭平面对量的数量积及其几何意义；2.驾驭平面对量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.驾驭向量垂直的条件。

过程与方法：通过数量积的学习，使学生驾驭向量的数量积及其运算，及数形结合的思想。

情感看法与价值观：培育学生应用意识。

二、学习重、难点：

重点：平面对量的数量积定义。

难点：平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用。

三、学法指导：本节学习的关键是理解平面对量数量积的定义，理解定义之后便可推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加对于平面对量数量积的相识。主要学问点：平面对量数量积的定义及几何意义；平面对量数量积的重要性质；平面对量数量积的运算律。

四、学问链接：

力做的功：W=|F|?|s|cos?，?是F与s的夹角。

两个非零向量夹角的概念

已知非零向量与，作＝，，则叫与的夹角。

（1）当时，与同向；

（2）当时，与反向；

（3）当时，与垂直，记；

（4）留意在两向量的夹角定义，两向量必需是同起点的范围0?≤?≤180?

五、学习过程：

问题1.平面对量数量积（内积）的定义：

并规定与任何向量的数量积为0。

说明：两个向量的数量积与向量同实数积区分

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所确定。

（2）两个向量的数量积称为内积，写成；书写时要严格区分符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替。

（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中若，且，不能推出因为其中cos?有可能为0。

问题2.“投影”

问题3.向量的数量积的几何意义：

问题4.由向量数量积的定义，能得到哪些结论：

设、为两个非零向量，则

A例1.已知,，与的夹角，求.

A问题5.平面对量数量积的运算律:

说明：（1）一般地，

（2）

A例2证明：

有如下常用性质：.

B例3已知,，与的夹角为求.

B例4已知,，且与不共线，k为何值时，向量与相互垂直。

六、达标检测：

B1.已知，，且与垂直，则与的夹角是（）

A.60°B.30°C.135°D.

B2已知，，，则______，。

B3.已知向量、的夹角为，，，则。

B4.已知，a-b=-8i+16j，其中是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么=。

B5.已知，，(1)若∥，求；(2)若、的夹角为，求.

B6.设，，且与垂直，则＝。

七、学习小结：

1平面对量的数量积及其几何意义。

2.驾驭平面对量数量积的重要性质及运算律。

3.平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题。

八、课后反思：

2．4．1平面对量数量积的物理背景及其含义

例1a·b=-10

例2

证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

(ａ—ｂ)（a+b）＝ａ２—ｂ２

(ａ＋ｂ)２＝(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)=ａ·ａ+ａ·ｂ+ｂ·ａ+ｂ·ｂ=ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

(ａ—ｂ)（a+b）=ａ·ａ-ａ·ｂ+ｂ·ａ+ｂ·ｂ=ａ２—ｂ２

例3(a+2b)·(a-3b)=-72

例4

解：向量a+kb与a-kb相互垂直的条件是：（a+kb）·（a-kb）=0

即ａ２—k２ｂ２=0

∵ａ２=9ｂ２=16∴9-16k２=±

【达标检测】

1D

2|a+b|=______，|a-b|=.

3.|a+b|·|a-b|=.

4.a·b=-63.

5(1)±(2)

7.λ＝±.