版高考数学一轮总复习练案31第五章第四讲平面向量的综合应用.pdfVIP

第四讲平面向量的综合应用

A组基础巩固

一、单选题

1．若O为△ABC内一点，|OA|＝|OB|＝|OC|，则O是△ABC的(B)

A．内心B．外心

C．垂心D．重心

[解析]由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选

B.

2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2－6，则点P的轨迹是(

D)

A．圆B．椭圆

C．双曲线D．抛物线

[解析]因为PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，所以PA·PB＝(－2－x)(3－x)

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＋y＝x－6，所以y＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D.

3．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为(B)

A．1B．

C．D．2

[解析]∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，

∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)．

∴|a－b|＝＝.

∴|a－b|最大值为.故选B.

4．已知A，B是圆心为C半径为的圆上两点，且|AB|＝，则AC·CB等于(A)

A．－B．

C．0D．

[解析]由于弦长|AB|＝与半径相等，则∠ACB＝60°⇒AC·CB＝－CA·CB＝－|CA|·|

CB|·cos∠ACB＝－×·cos60°＝－.

5．(2022·银川调研)若平面四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该

四边形一定是(C)

A．直角梯形B．矩形

C．菱形D．正方形

[解析]由AB＋CD＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，由(AB－AD)·AC＝0得

DB·AC＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.

1

6．(2022·浙江省兰溪市第三中学月考)扇形OAB的半径为1，圆心角为，P是上的动

点，则AP·BP的最小值为(C)

A．－B．0

C．－D．

[解析]由题设，AP＝OP－OA，BP＝OP－OB，

∴AP·BP＝(OP－OA)·(OP－OB)＝OP2－OP·(OA＋OB)＋OA·OB，

∵OA·OB＝－，OP2＝1，

∴AP·BP＝－OP·(OA＋OB)，要使AP·BP的最小，即OP，OA＋OB同向共线．

又|OA＋OB|＝|OP|＝1，

∴(AP·BP)＝－1＝－.

min

故选C.

二、多选题

7．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有(

AD)

A．a⊥bB．a∥b

C．|a|＝|b|D．|a＋b|＝|a