鲁京津琼专用2025版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式.docxVIP

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§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式

必威体育精装版考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx．2.借助单位圆中的三角函数线推导出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

2．三角函数的诱导公式

公式

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sinα

－sinα

sinα

cosα

cosα

余弦

cosα

－cosα

cosα

－cosα

sinα

－sinα

正切

tanα

tanα

－tanα

－tanα

口诀

函数名不变，符号看象限

函数名变更，符号看象限

概念方法微思索

1．运用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？

提示依据角所在象限确定三角函数值的符号．

2．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？

提示全部诱导公式均可看作k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．

题组一思索辨析

1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)

(2)若α∈R，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．(×)

(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(×)

(4)若sin(kπ－α)＝eq\f(1,3)(k∈Z)，则sinα＝eq\f(1,3).(×)

题组二教材改编

2．若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)απ，则tanα＝.

答案－eq\f(1,2)

解析∵eq\f(π,2)απ，

∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5)，

∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).

3．已知tanα＝2，则eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)的值为．

答案3

解析原式＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(2＋1,2－1)＝3.

4．化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．

答案－sin2α

解析原式＝eq\f(sinα,cosα)·(－sinα)·cosα＝－sin2α.

题组三易错自纠

5．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则sinθ－cosθ的值为．

答案－eq\f(\r(2),3)

解析∵sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，∴sinθcosθ＝eq\f(7,18).

又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(2,9)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，

∴sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(2),3).

6．(2024·成都诊断)已知α为锐角，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋α))＝eq\f(4,5)，则cos(π＋α)＝.

答案－eq\f(3,5)

解析∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋α))＝sinα＝eq\f(4,5)，且α为锐角，

∴cosα＝eq\f(3,5)，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\f(3,5).

7．已知cosα＝eq\f(1,5)，－eq\f(π,2)α0，则eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),tan?α＋π?cos?－α?tanα)的值为．

答案eq\f(\r(6),12)

解析∵－eq\f(π,2)α0，

∴sinα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2)＝－eq\f(2,5)eq\r(6)，

∴tanα＝－2eq\r(6).

则eq\f(cos\b\lc