鲁京津琼专用2025版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4幂函数与二次函数教案含解.docxVIP

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§2.4幂函数与二次函数

必威体育精装版考纲1.通过实例，了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝的图象，了解它们的改变状况.3.理解并驾驭二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简洁问题．

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较

函数

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝

y＝x－1

图象

性质

定义域

R

R

R

{x|x≥0}

{x|x≠0}

值域

R

{y|y≥0}

R

{y|y≥0}

{y|y≠0}

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数

单调性

在R上单调递增

在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增

在R上单调递增

在[0，＋∞)上单调递增

在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减

公共点

(1,1)

2.二次函数的图象和性质

解析式

f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)

f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)

图象

定义域

R

R

值域

eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))

单调性

在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；

在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增

在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；

在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减

对称性

函数的图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)对称

概念方法微思索

1．二次函数的解析式有哪些常用形式？

提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；

(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件．

提示a0且Δ≤0.

题组一思索辨析

1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值肯定是eq\f(4ac－b2,4a).(×)

(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a确定了图象的开口方向和在同始终角坐标系中的开口大小．(√)

(3)函数y＝是幂函数．(×)

(4)假如幂函数的图象与坐标轴相交，则交点肯定是原点．(√)

(5)当n0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(×)

题组二教材改编

2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于()

A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2

答案C

解析由幂函数的定义，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,\f(\r(2),2)＝k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α.))

∴k＝1，α＝eq\f(1,2).∴k＋α＝eq\f(3,2).

3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是()

A．a≥3 B．a≤3

C．a－3 D．a≤－3

答案D

解析函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，

∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.

题组三易错自纠

4．幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于()

A．3B．4C．5D．6

答案C

解析因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，

f(x)＝(a∈Z)为偶函数，

且在区间(0，＋∞)上是减函数，

所以(a－5)2－20，从而a＝4,5,6，

又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.

5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______．

答案－1

解析函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝eq\f(3,2)1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，

∴ymin＝2－6＋3＝－1.

6．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a0)