5.1 导数的概念及其意义-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）.docVIP

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高二数学《考点?题型?技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)

第五章：一元函数的导数及其应用

5.1导数的概念及其意义

【考点梳理】

大重点一：变化率问题和导数的概念

考点一：瞬时速度的定义

(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s?t0＋Δt?－s?t0?,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(s?t0＋Δt?－s?t0?,Δt).

考点二函数的平均变化率

对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．

考点三函数在某点处的导数

如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).

大重点二：导数的几何意义

考点四导数的几何意义

1．割线斜率与切线斜率

设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

考点五导函数的定义

从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?x＋Δx?－f?x?,Δx).

规律总结：

区别

联系

f′(x0)

f′(x0)是具体的值，是数值

在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值

f′(x)

f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数

【题型归纳】

题型一：函数的平均变化率

1．（2021·全国·高二课时练习）函数f(x)＝2x在x＝1附近(即从1到1＋Δx之间)的平均变化率是（）

A．2＋Δx B．2－Δx C．2 D．(Δx)2＋2

2．（2021·江苏·高二专题练习）若函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则（）

A． B．

C． D．与的大小关系与的取值有关

3．（2021·江苏·高二课时练习）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（）

A． B．

C． D．

题型二：瞬时变化率理解

4．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，则用平均变化率估计在处的瞬时变化率为（）

A．1 B．2

C．3 D．4

5．（2021