2024—2025学年重庆市南开中学校高二上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年重庆市南开中学校高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★)1.已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（）

A．1

B．2

C．3

D．4

(★★)2.已知数列满足：，，则（）

A．10

B．11

C．12

D．13

(★★)3.若椭圆的离心率为，上顶点到焦点的距离为4，则椭圆短轴长为（）

A．2

B．

C．4

D．

(★★)4.已知圆，直线与圆C交于A，B两点，若为直角三角形，则的值为（）

A．1

B．3

C．4

D．9

(★★)5.已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.已知正方体中，为平面上一动点，若到的距离与到的距离相等，则的轨迹为（）

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

(★★★)7.已知双曲线的左顶点和右焦点分别为A，F，O为坐标原点，经过点A的直线l与双曲线的两条渐近线交于点M，N，设M，N的中点为P，满足，则直线l的斜率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.已知F为椭圆的右焦点，A，B为圆上两个关于原点对称的点，若恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★)9.已知数列满足：，则以下说法正确的是（）

A．数列为单调递减数列

B．

C．

D．

(★★★★)10.如图，，为双曲线的左右焦点，，为该双曲线的两条渐近线，到一条渐近线的距离为2，过的直线与双曲线左右两支分别交于点M，N，.则下列说法正确的是（）

A．

B．

C．的内切圆半径是

D．

(★★★★)11.如图所示，椭圆，双曲线，双曲线.三条曲线有相同的焦点，且，P，Q分别为椭圆E与双曲线，的交点.，三条曲线的离心率分别为e，，，则（）

A．

B．曲线E和在点Q处的切线互相垂直

C．

D．若，则

三、填空题

(★)12.已知直线过点，并且与双曲线有且只有一个公共点，写出满足条件的的一个方程________________.

(★)13.已知椭圆，是椭圆C的右顶点，过椭圆的左焦点垂直于长轴的直线交椭圆于M，N两点，则的面积为________________.

(★★★)14.已知抛物线，准线为l，过的直线交抛物线于A，B两点，AP垂直l于点P，点C满足，则的最小值为________________.

四、解答题

(★★★)15.等差数列的前n项和为，若，，公差.

(1)求的通项公式；

(2)若，求n的值.

(★★★)16.已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，，点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l过点，与C交于D，E两点，若，求直线l的方程.

(★★★)17.如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，其中∠ABC＝45°，，E为棱PC上一动点.

(1)若E为PC中点，求证：AE⊥平面PBC；

(2)若E是棱PC上靠近P的三等分点，求平面ABE和平面PBE夹角的余弦值.

(★★★★)18.已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q.

（i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值；

（ii）设，，求的最大值.

(★★★★★)19.已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于A，B两点.当直线的斜率为时，线段AB的中点为.

(1)求双曲线的方程；

(2)直线上有两点P，Q满足：，，其中，.已知，点P在双曲线上.

（i）证明：点Q也在双曲线上；

（ii）若，是否存在以PQ为直径的圆，与y轴相切.若存在，求出圆的方程；若不存在