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§10.6离散型随机变量及其分布列、数字特征
考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
知识梳理
1.离散型随机变量
在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量,随机变量常用字母X,Y,ξ,η等表示.取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
若离散型随机变量X的取值为x1,x2,x3,…,xn,…,随机变量X取xi的概率为pi(i=1,2,3,…,n,…),记作P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n,…).①
①式也可以列成表,如表:
xi
x1
x2
…
xn
…
P(X=xi)
p1
p2
…
pn
…
表或①式称为离散型随机变量X的分布列,简称为X的分布列.
3.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi0(i=1,2,…,n,…);
(2)p1+p2+…+pn+…=1.
4.离散型随机变量的均值与方差
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
则称EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).它反映了离散型随机变量X取值的平均水平.
(2)方差
称DX=E(X-EX)2=eq\i\su(i=1,n,)(xi-EX)2pi为随机变量X的方差,其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的标准差,记作σX,它们都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=aEX+b.
(2)D(aX+b)=a2DX(a,b为常数).
常用结论
1.Ek=k,Dk=0,其中k为常数.
2.E(X1+X2)=EX1+EX2.
3.DX=EX2-(EX)2.
4.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=EX1·EX2.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(√)
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出,
X
2
5
P
0.3
0.7
则它服从两点分布.(×)
(4)方差或标准差越小,则随机变量的偏离程度越小.(√)
教材改编题
1.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示()
A.甲赢三局
B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局二次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
答案D
解析因为甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,
故{ξ=3}表示两种情况,即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
2.已知随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
P
eq\f(1,2)
eq\f(1,3)
eq\f(1,6)
设Y=2X+3,则EY的值为()
A.eq\f(7,3)B.4C.-1D.1
答案A
解析EX=-1×eq\f(1,2)+0×eq\f(1,3)+1×eq\f(1,6)=-eq\f(1,3),
EY=2EX+3=-eq\f(2,3)+3=eq\f(7,3).
3.若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
eq\f(a,2)
eq\f(a2,2)
则X的方差DX=________.
答案eq\f(1,4)
解析由eq\f(a,2)+eq\f(a2,2)=1,得a=1或a=-2(舍去).
∴X的分布列为
X
0
1
P
eq\f(1,2)
eq\f(1,2)
∴EX=0×eq\f(1,2)+1×eq\f(1,2)=eq\f(1,2),
则DX=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0-\f(1,2)))2×eq\f(1,2)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2)))2×eq\f(1,2)=eq\f(1,4).
题型一分布列的性质
例1(1)若随机变量X的分布列为
X
-2
-1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(Xa)=0.8时,实数a的取值范围是()
A.(-∞,2] B.[1,2]
C.(1,2] D.(1,2)
答案C
解析由随机变量X的分布列知,P(X1)=0.5,P(X2)=0.8,故当P(Xa)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2].
(2)(2022·桂林模拟)若随机变量X的分布列为
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