暑假同步讲义 第19讲 二次函数图像性质的应用培优(学生版) .pdfVIP

二次函数的应用

内容分析

二次函数在实际生活中的应用主要包括以下几个方面：

（1）二次函数与经济问题，主要用于求解利润最大化；

（2）二次函数与面积问题，涉及到实际图形面积关系式的表达、面积最值的求

解等；

（3）二次函数与拱桥问题，二次函数的图像与拱桥横截面的形状都是抛物线状，

所以利用二次函数求解拱桥问题在实际生活中很常见；

（4）二次函数与物体的运动轨迹：在实际生活中，由于只受重力的作用，掷出

的铅球、踢出的足球、投出的篮球等物体的运动轨迹一定是抛物线形状，

则可以利用二次函数的图像性质求解相关的问题．

当然二次函数也会与其他的知识点相结合，例如二次函数与一次函数、二次

函数与一元二次方程、二次函数与不等式等的代数综合，以及二次函数与相似三

角形、二次函数与圆、二次函数与动点等的几何综合，这些内容我们会在秋季班

的课程中深入地学习．

知识结构

步同级年九

模块一：二次函数与利润最大化

知识精讲

1、知识点名称

求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通

过配方的方式求解最大值．

这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值

时，也需注意自变量的取值范围．

例题解析

【例1】某商品进价为90元/个，按100一个出售，能售出500个，如果这种商品每涨价1

元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，单价应定为__________．

【例2】某商店以120元每件的成本购进一批新产品，在试销阶段，每件产品的销售价x（元）

与产品的日销售量y（台）之间的关系如下表所示：

x130150165

y705035

（1）若日销售量y是销售价x的一次函数，求这个一次函数；

（2）每件产品的销售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？

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【例3】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，

且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数

y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．

（1）求一次函数y=kx+b的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定

为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

【例4】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国

家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售

价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润y元，请写出y与x之间的函

数关系式；

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应

降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

步同级年九

【例5】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为30元/kg，物价部

门规定其销售单价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg，市场调查发现：单价定于

70元时，日均销售60kg，单价每降低1元，日均多售出2kg，在销售过程每天还要支

出其它费用500元（不足一天时，按整天计算），设销售单价为x元，日均获利为y元．

（1）求y关于x的二次函