一元二次方程(教师版)--初中数学四维三难【人教版】.pdf

一元二次方程

一、课堂目标

1．了解一元二次方程及一般式的概念，理解解的概念．

2．感受方程作为刻画现实世界的数学模型的意义．

二、知识引入

问题1

公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了

，另一边减少了，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边

长，则可列方程．

【答案】

【解析】设原正方形的边长为，依题意有：

．

故答案为：．

【标注】【知识点】一元二次方程的几何问题

你能根据题目中的条件列出方程吗，试一试．

问题2

要组织一次球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排场比赛，则参赛球队的个

数是．

1

【答案】

【解析】设有个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，

，

解得或（舍去）．

故应邀请个球队参加比赛．

故答案为：.

【标注】【知识点】一元二次方程的其他实际问题

你能根据题目中的条件列出方程吗，试一试，可以不用解方程．

三、知识讲解

1.一元二次方程的概念

一元二次方程的定义

通过上面两个例题，可以发现，这两个方程两边都是整式，方程中只含一个未知数，未知数的最高

次数是，同样的，方程、、也是这样的方程．

像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方

程，叫做一元二次方程．

一元二次方程的一般形式

，为二次项系数，为一次项系数，为常数项．

【注意】

①判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化为一般式，再判断．二次项、二次项系数、一次项、一

次项系数和常数项都是包括符号的．

②二次项系数不为零．

思考：在一元二次方程的一般形式中，为什么要求？

一元二次方程的识别

要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：

①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式；

2

②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数；

③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是；

任何一个关于的一元二次方程经过整理都可以化为一般式．

要特别注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且

时，方程是一元一次方程．

例题1

1.下列方程是一元二次方程的有．

①

②

③

④（为常数）

⑤（为常数）

⑥

⑦（为常数）．

⑧

【答案】①②④⑦

【解析】本题考查一元二次方程的识别，判断一个方程是否是一元二次方程，必须满足：①整式

方程；②只含有一个未知数；③未知数最高次项为；④二次项系数不为．

①同时满足以上个条件，是一元二次方程．

②同时满足以上个条件，是一元二次方程．

③有两个未知数，所以不是一元二次方程．

④同时满足以上个条件，是一元二次方程．

⑤为常数，当时，则二次项系数为，所以不是一元二次方程．

⑥将方程化简后得，个未知数最高次项为，所以不是