湖北省新八校协作体2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题（含答案解析）.docx

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湖北省新八校协作体2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知空间向量，，若与垂直，则等于（???）

A． B． C．3 D．

2．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（???）

A． B． C．2 D．4

3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（???）

A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生

C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生

4．已知一组数据，，，的平均数和方差分别为80，21，若向这组数据中再添加一个数据80，数据，，，，的平均数和方差分别为，，则（???）

A． B． C． D．

5．在直三棱柱中，，，为的中点，则与所成角的余弦值是（???）

A． B． C． D．

6．过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（???）

A． B． C． D．

7．已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（???）

A． B． C． D．

8．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.（1）若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，则直线的方程为；（2）若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为.利用以上信息解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（???）

A．两人都命中的概率为0.56 B．恰好有一人命中的概率为0.38

C．两人都没有命中的概率为0.6 D．至少有一人命中的概率为0.7

10．设动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的有（???）

A．直线过定点 B．当最大时，

C．当最小时， D．当最小时，其余弦值为

11．立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（???）

??

A．平面

B．若是棱的中点，则与平面平行

C．若四边形的边界及其内部有一点，，则点的轨迹长度为

D．若为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的范围为

三、填空题

12．在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离为.

13．若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是.

14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则双曲线的离心率为.

四、解答题

15．已知圆的圆心在轴上，且经过点，.

(1)求圆的标准方程；

(2)过点的直线与圆交于、两点，若，求直线的方程.

16．求满足下列条件的双曲线的标准方程：

(1)过点，且与双曲线的离心率相等；

(2)两顶点间的距离为8，渐近线方程为.

17．半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半.20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.

??

(1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄；

(2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率；

(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差.

18．如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.

??

(1)求证：平面；

(2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与