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人教版八年级下册数学
第19章一次函数综合(压轴题)示范
1.如图,直线l1的解析式为y=12x+1,且l1与x轴交于点D,直线l2经过定点A、B,直线l1与l
(1)求直线的解析式;
(2)求△ADC的面积;
(3)在x轴上是否存在一点E,使△BCE的周长最短?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,说明理由.
【分析】(1)利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式;
(2)首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标,然后利用三角形的面积公式即可求解;
(3)求得C关于y轴的对称点,然后求得经过这个点和B点的直线解析式,直线与x轴的交点就是E.
【解析】(1)设l2的解析式是y=kx+b,
根据题意得:4k+b
(2)在y=12x+1中令y=0,即y
解方程组y=-x+4y=12x+1
(3)存在,理由:
设C(2,2)关于y轴的对称点C′(2,﹣2),连接BC′交x轴于点E,则点E为所求点,
△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+BE+C′E=BC+BC′为最小,
设经过(2,﹣2)和B的函数解析式是y=mx+n,则2m+n
则直线的解析式是y=-73x+83
【小结】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式,以及对称的性质,正确确定E的位置是本题的关键.
2、矩形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),BC=2AB,直线经过点B,交AD边于点P1,此时直线l的函数表达式是y=2x+1.
(1)求BC,AP1的长;
(2)沿y轴负方向平移直线l,分别交AD,BC边于点P,E.
①当四边形BEPP1是菱形时,求平移的距离;
②设AP=m,当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3:5时,求m的值.
解:(1)∵直线y=2x+1经过y轴上的B点,∴B(0,1),又∵A的坐
标为(0,3);∴AB=2;BC=2AB=4;P1(1,3);AP1=1;
①当四边形BEPP1是菱形时,BP1=BE=;∴E(,1);
设平移之后的直线解析式为:y=2x+b,将点E代入;b=1-2;
与y轴的交点B’(0,1-2),∴沿y轴负方向平移距离为2;
②∵AP=m;AP1=1;PP1=BE=m-1;而S梯形ABEP=S矩形ABCD或S梯形ABEP=S矩形ABCD;
∴;m=2或3.
3、如图,一次函数y1=54x+n与x轴交于点B,一次函数y2=-
(1)则点B的坐标为,点C的坐标为;
(2)在x轴上有一点P(t,0),且t>12
(3)在(2)的条件下,在y轴的右侧,以CP为腰作等腰直角△CPM,直接写出满足条件的点M的坐标.
【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式,分别令y=0和x=0,可得B、C点坐标;
(2)根据面积的和差,可得关于t的方程,根据解方程,可得答案;
(3)分情况讨论,注意是在y轴的右侧,有三个符合条件的点M,作辅助线,构建三角形全等,根据全等三角形的判定与性质,可得M的坐标.
【解析】(1)将D(1,-74)代入y
即y=54x﹣3,当y=0时,54x﹣3=0.解得x=
将(1,-74)代入y=-
(2)如图1,S△BDP=12(t-125)×|
当y=0时,-34x﹣1=0,解得x=-
S△CDP=S△DPE﹣S△CPE=12(t+43)×7
由△BDP和△CDP的面积相等,得:78
(3)以CP为腰作等腰直角△CPM,有以下两种情况:
①如图2,当以点C为直角顶点,CP为腰时,
点M1在y轴的左侧,不符合题意,过M2作M2A⊥y轴于A,
∵∠PCM2=∠PCO+∠ACM2=∠PCO+∠OPC=90°,∴∠ACM2=∠OPC,
∵∠POC=∠CAM2,PC=CM2,∴△POC≌△CAM2(AAS),∴PO=AC=5.2,OC=AM2=1,
∴M2(1,﹣6.2);
②如图3,当以点P为直角顶点,CP为腰时,
过M4作M4E⊥x轴于E,同理得△COP≌△PEM4,∴OC=EP=1,OP=M4E=5.2,∴M4(6.2,﹣5.2),
同理得M3(4.2,5.2);
综上所述,满足条件的点M的坐标为(1,﹣6.2)或(6.2,﹣5.2)或(4.2,5.2).
【小结】本题考查了一次函数综合题,利用待定系数法求函数解析式;利用面积的和差得出关于t的方程是解题关键;利用全等三角形的判定与性质得出对应边相等是解题关键.
4、如图,已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点,点C的坐标为(﹣3,1).
(1)直接写出点A的坐标,点B的坐标.
(2)求证△ABC是等腰直角三角形.
(3)若直线AC交x轴于点M,点P(-5
【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可.
(2)作CD⊥
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