2024高考数学第一轮复习：810 与球有关的切、接问题(解析版).pdfVIP

8.10与球有关的切、接问题

思维导图

知识点总结

研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的何性质，要特

别注意多面体、旋转体的有关何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关槌是确定球

心.

知识点一；正方体、长方体外接球

1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

3、补成长方体

（I）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.

2（）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.

PA

(3)正四面体可以补形为正方体旦正方体的棱长如图3所示.

4（）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图I图2图3图4

知识点二：正四面体外接球

如图，设正四面体ABC。的的棱长为“，将其放入正方体中，则正方体的棱长为也〃，显然正四面体

2

和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R=@。•且=在。，即正四面体外接球半径为R=

2244

知识点三：对棱相等的三棱锥外接球

四面体A3CO中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体，可

以通过构造长方体来解决这类问题.

22

b+C=加222

如图，设长方体的长、宽、高分别为贝IJ片十°2=〃2,三式相力口可得/+从+。2=竺士工,

,，2

a~+b~=r

22

Im+n+7

而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R,则/+6+C2=4R2,所以/?=

知识点四：直棱柱外接球

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

第一步：确定球心O的位置，。是A48C的外心，则Oq_L平面A8C；

第二步：算出小圆01的半径AQ=r，OO=-A4,=-h（.44=/?也是圆柱的高）；