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带有脉冲和收获项的时滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统

的四个正周期解

吕小俊;谢海平;吕鹏辉

【摘要】通过使用一般连续定理和一些微积分技巧,研究带有脉冲和收获项的时滞

Crowly-Martin型食饵-捕食系统的动力学特征,并获得该时滞Crowly-Martin型

食饵-捕食系统存在四个正周期解的充分条件.最后,给出一个例子去验证结论的有效

性.由时滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统多解性的研究过程可知,收获项会影响

食饵-捕食系统的多个正周期规则.

【期刊名称】《西南民族大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2019(045)004

【总页数】9页(P396-404)

【关键词】时滞;脉冲;食饵-捕食系统;Crowly-Martin;四个正周期解

【作者】吕小俊;谢海平;吕鹏辉

【作者单位】云南大学旅游文化学院信息学院,云南丽江674199;云南大学旅游文

化学院信息学院,云南丽江674199;云南大学旅游文化学院信息学院,云南丽江

674199

【正文语种】中文

【中图分类】O175

1引言

在自然界中，捕食行为是很普遍的生物现象，所以利用食饵-捕食系统去描述生物

种群的特征是有意义的.食饵-捕食系统由Lotka和Volterra在1926年第一次提

出，由于种群保护、维持生态平衡和种群管理等都依赖于食饵-捕食系统的动力学

特征，所以研究食饵-捕食系统的动力学特征已成为一个新的热点，并得到很多优

秀的结论[1-3，10-15].在传统Lotka-Volterra模型中，生物学家发现捕食率不仅

只依赖于食饵和捕食者种群密度的乘积，最终由Holling提出功能反应函数的概

念，功能反应函数反映捕食者在单位时间内捕食食饵的数量.并逐步提出各种类型

的功能反应函数，例如Holling型、Beddington-DeAngelis型、Hassell-Varley

型和Crowly-Martin型等.近年来，诸多学者已研究了带有功能反应函数的食饵-

捕食系统的周期解、概周期解、多解和稳定性等问题[3-4，9-11].

另外，生物种群在自然界中受到地震、洪水、干旱和人类干扰等突发因素的影响，

从而影响生物种群的动力学特征.在生物数学中，人们利用脉冲来描述这类突发干

扰，故脉冲生态系统倍受众多学者的关注，并得到很多优秀的成果(见文献[3，6，

7，10]).在文献[3]中，作者利用积分中值定理和李亚普诺夫函数研究了以下带有脉

冲和时滞的食饵-捕食系统(1)的概周期解，并得到该系统存在唯一稳定概周期解的

充分条件.

同时，随着人类经济社会的高速发展，生物资源的开发和对种群数量的定期收获已

被广泛应用于渔业和野生动物管理中，因此，在食饵捕食系统中增加收获项是有必

要的.且收获项会影响生物种群的多个周期和概周期现象(见文献[5-6，9]).据作者

所知，至今很少有人研究带有脉冲和收获项的Crowly-Martin型食饵-捕食系统的

多解性问题.

受以上启发，在本文中，利用一般连续定理和一些微积分技巧，研究脉冲影响的时

滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统(2)的多解性.

这里:x(t)和y(t)分别表示t时刻捕食者和食饵的种群密度，ri(t)表示内部增长率，

di(t)表示相互的种群密度阻力，hi(t)＞0表示收获速率，i=1，2.τj1(t)(j1=1，2，

3，4)表示非负变时滞函数，{tk}k∈N+是一个严格递增的序列存在d2k.

2预备知识

介绍一些基本概念和引理:

引理1[8](一般连续定理)若X和Z均为Banach空间，L:DomL⊂X→Z是一个零

指标的Fredholm算子，N:，(x，λ)→N(x，λ)是一个L-压缩算子，连续映射

P:X→X和Q:Z→Z满足:ImP=KerL，ImL=KerQ=Im(I-Q)，J:ImQ→KerL是一

个同构映射.

(a)对于任意λ∈(0，1)，x∈∂Ω∩DomL，有Lx≠λN(x，λ)；

(b)对于任意x∈∂Ω∩KerL，有QN(x，0)≠0；

(c)

则对于任意的λ∈[0，1)，方程Lx=λN(x，λ)在集合Ω上至少存在一个解，方程

Lx=N(x，1)在Ω上至少存在一个解.

这里:

引理2对于系统(2)和(3)，以下结