2025届广东省深圳市龙岗区龙城高级中学高三上学期开学考试数学试卷.docVIP

2025届广东省深圳市龙岗区龙城高级中学高三上学期开学考试数学试卷

一、单选题

(★)1.已知集合，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.复数，则（）

A．5

B．

C．

D．32

(★★)3.已知向量，且，则（）

A．11

B．

C．

D．

(★★★)4.已知，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.某小区花园内现有一个圆台形的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为3，且上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为2，则这个圆台的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.已知甲同学从学校的4个科技类社团，3个艺术类社团，2个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.已知函数且，若方程与方程共有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如．若函数有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★)9.演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数：

9.3

8.8

8.9

9.0

8.9

9.0

9.1

8.7

9.2

9.0

9.1

9.2

若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数的（）

A．极差为0.3

B．众数为9.0和9.1

C．中位数为9.0

D．第70百分位数为9.05

(★★)10.已知函数，下列选项正确的是（）

A．若在区间上单调递减，则a的取值范围为

B．若在区间上有极小值，则a的取值范围为

C．当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为

D．若曲线的对称中心为，则

(★★★★)11.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是的双纽线上一点，下列说法正确的是（）

A．若直线交双纽线于，，三点（为坐标原点），则

B．双纽线上满足的点有2个

C．的面积的最大值为

D．的周长的取值范围为

三、填空题

(★★)12.在的展开式中，项的系数为________.

(★★)13.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则=___________.

(★★★★★)14.抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．

四、解答题

(★★★★)15.已知正项数列满足，，等比数列满足：，.

（1）证明数列是等差数列，并求数列，的通项公式；

（2）设，求.

(★★★)16.如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

(★★★)17.乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱.第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年盛夏在巴黎举行，届时乒乓球球比赛必将吸引无数球迷的目光.为了了解我市市民对于收看奥运会乒岳球比赛的意愿，从参与调查的市民中随机抽取了男、女各40人进行分析，得到如下列联表（单位：人）：

收看意愿

性别

合计

女性

男性

有收看意愿

20

30

50

无收看意愿

20

10

30

合计

40

40

80

(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为我市市民对于收看奥运会乒乓球比赛的意愿与性别有关联?

(2)以样本的频率估计总体的概率，现从我市男性市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“有收看意愿”的人数为，求的分布列和数学期望.附：

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

参考公式：，其中.

(★★★★)18.已知函数.

(1)讨论函数的单