2025届广东省珠海市北京师范大学（珠海）附属高级中学高三上学期第三次考试（10月）数学试卷.docVIP

2025届广东省珠海市北京师范大学（珠海）附属高级中学高三上学期第三次考试（10月）数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知集合，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.若，则的虚部为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)

3.若，则的一个充分不必要条件为（）

A．

B．

C．

D．

(★)4.已知向量，，若与垂直，则等于（）

A．

B．

C．3

D．6

(★★)5.甲?乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲?乙到不同社区的不同安排方案共有（）

A．6种

B．18种

C．36种

D．72种

(★)6.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（）

A．

B．．

C．

D．

二、多选题

(★★★)9.下列说法中，正确的是（）

A．数据的第百分位数为

B．已知随机变量服从正态分布，；则

C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，则

D．若样本数据的方差为，则数据的方差为4

(★★★)10.设正实数，满足，则（）

A．有最小值4

B．有最小值

C．有最大值

D．有最小值

(★★★)11.设函数，则下列结论正确的是（）

A．存在实数使得

B．方程有唯一正实数解

C．方程有唯一负实数解

D．有负实数解

三、填空题

(★)12.的展开式中常数项是______．（用数字作答）

(★★)13.已知随机事件满足，则_______．

(★★★)14.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前12项和________.

四、解答题

(★★★)15.在中，内角的对边分别为，且.

(1)求的值；

(2)若，证明：为直角三角形.

(★★★)16.已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

(★★★)17.在直三棱柱中，在上，且．

(1)证明：；

(2)当四棱锥的体积为时，求平面与平面所成二面角的正弦值．

(★★★)18.某校组织知识竞赛，有两类问题．若A类问题中每个问题回答正确得20分，否则得0分；若B类问题中每个问题回答正确得50分，否则得0分．已知李华同学能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为．

(1)若李华从这两类问题中随机选择一类问题进行回答，求他回答正确的概率；

(2)若李华连续两次进行答题，有如下两个方案：

方案一：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，若答对，则第二次继续回答该类问题；若答错，则第二次回答另一类问题．

方案二：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，无论是否答对，第二次回答另一类问题．

为使累计得分的期望最大，李华应该选择哪一种方案？

(★★★★)19.已知（，且）.

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)当时，求证：在上单调递增；

(3)设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围.