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上海市虹口区2025届高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．已知,则“”是“”的________条件()

A.充要 B.充分非必要

C.必要非充分 D.既非充分又非必要

2．已知事件A和事件B满足,则下列说法正确的是()

A.事件A和事件B独立 B.事件A和事件B互斥

C.事件A和事件B对立 D.事件A和事件B互斥

3．已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O,若空间中的动点P满足,,则点P的轨迹所形成的几何体的体积为()

A. B. C.. D.

4．设数列的前四项分别为,,,对于以下两个命题,说法正确的是()

①存在等比数列以及锐角,使成立.

②对任意等差数列以及锐角,均不能使成立.

A.①是真命题,②是真命题 B.①是真命题,②是假命题

C.①是假命题,②是真命题 D.①是假命题,②是假命题

二、填空题

5．已知集合,,则_____________.

6．函数的定义域是_____________.

7．若,则______________.

8．在的二项展开式中,项的系数为_______________.

9．设且,则函数的图像恒过的定点坐标为______________.

10．若某圆锥的底面半径为1,高为1,则该圆锥的侧面积为______________.（结果保留）

11．已知非零复数z满足,,则z的虚部为______________.

12．已知,则的解集是____________.

13．如图,已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2,且二面角的大小为,则______________.

14．双曲线的左、右焦点分别为和,若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P,且,则的离心率为_____________.

15．2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功,标志着中国空间站建设进入新阶段.在飞船竖直升空过程中,某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次.已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H,且在照片上飞船船体长度为h,比较两张照片,相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m.假设该记者连按拍照键间的反应时间为t,并忽略相机曝光时长,若用平均速度估算瞬时速度,则拍照时飞船的瞬时速度为_______________.（用含有H、h、m、t的式子表示）

16．已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素,且相邻两项满足.若中任意两项都不相等,则满足条件的数列有______________个.

三、解答题

17．设.

(1)当函数的最小正周期为时,求在上的最大值;

(2)若,且在中,角A、B、C所对的边长为a、b、c,锐角A满足,,求a的最小值.

18．如图,已知在四棱柱中,平面,N、M分别是、的中点.

(1)求证：平面;

(2)若底面为梯形,,,,异面直线与所成角为.求直线与平面所成角的正弦值.

19．2024年法国奥运会落下帷幕.某平台为了解观众对本次奥运会的满意度,随机调查了本市1000名观众,得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分）,平台将评分分为,,,,共5层,绘制成频率分布直方图（如图1所示）.并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分,绘制成茎叶图,但由于某种原因茎叶图受到了污损,可见部分信息如图2所示.

(1)求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数;

(2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访,求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率;

(3)已知这1000名观众的评分位于上的均值为67,方差为64.7,位于上的均值为73,方差为134.6,求这1000名观众的评分位于上的均值与方差.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为,,右顶点为A,上顶点为B,设P为上的一点.

(1)当时,求的值;

(2)若P点坐标为,则在上是否存在点Q使的面积为,若存在,请求出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)已知D点坐标为,过点P和点D的直线l与椭圆交于另一点T,当直线l与x轴和y轴均不平行时,有,求实数m的取值范围.

21．设,,.若函数满足恒成立,则称函数具有性质.

(1)判断是否具有性质,并说明理由;

(2)设,若函数具有性质,求实数a的取值范围;

(3)设函数的定义域为R,且对任意以及,都有.若当时,恒有.求证：函数对任意实数a均具有性质.

参考答案

1．答案：C

解析：由题意,,

由,即,则或,

由,则,

所以“”是“”的必要非充分条件.

故选：C.

2．答案：B

解析：因为事件A和事件B满足,则一定可以得到事件A和事件