【学案】《立体几何初步》章末复习 (1).docVIP

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立体几何初步

eq\x(\a\al(立,体,几,何,初,步))空间图形的基

本关系与基本

事实eq\x(直线与平面的位置关系)eq\x(直线在平面内)eq\x(直线与平面相交)eq\x(直线与平面平行)eq\x(直线与直线的位置关系)eq\x(平行直线)eq\x(相交直线)eq\x(异面直线)eq\x(平面与平面的位置关系)eq\x(平行平面)eq\x(相交平面)eq\x(基本事实1、2、3、4)eq\x(等角或互补定理)简单几何体

(组合体)的画法eq\x(三视图)eq\x(直观图)简单几何体简单旋转体eq\x(球)eq\x(圆柱、圆锥、圆台)简单多面体eq\x(棱柱)eq\x(棱锥、棱台)平行关系eq\x(平行关系的判定)eq\x(直线与平面平行的判定)eq\x(平面与平面平行的判定)eq\x(平行关系的性质)eq\x(直线与平面平行的性质)eq\x(平面与平面平行的性质)垂直关系eq\x(垂直关系的判定)eq\x(直线与平面垂直的判定)eq\x(二面角)eq\x(二面角的平面角)eq\x(平面与平面垂直的判定)eq\x(垂直关系的性质)eq\x(直线与平面垂直的性质)eq\x(平面与平面垂直的性质)简单几何体的

面积和体积eq\x(简单几何体的侧面积)eq\x(表面积)eq\x(棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积)eq\x(球的表面积和体积)

一、空间中的平行关系

1．判断线面平行的两种常用方法

面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：

(1)利用线面平行的判定定理；

(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．

2．判断面面平行的常用方法

(1)利用面面平行的判定定理；

(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ?α∥γ)；

(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β?α∥β)．

[训练1]

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

解当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接AC和BD交于点O，连接FO，则PF＝eq\f(1,2)PB．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是BD的中点，∴OF∥PD．

又OF?平面PMD，PD?平面PMD，

∴OF∥平面PMD．又MA綊eq\f(1,2)PB，

∴PF綊MA，∴四边形AFPM是平行四边形，

∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD．

∴AF∥平面PMD．

又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC．

∴平面AFC∥平面PMD．

[训练2]

如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，

求证：(1)GE∥平面BB1D1D；

(2)平面BDF∥平面B1D1H．

证明(1)如图，取B1D1中点O，连接GO，OB，

易证OG綊eq\f(1,2)B1C1，BE綊eq\f(1,2)B1C1，

∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形．

∴OB∥GE．

∵OB?平面BDD1B1，

GE?平面BDD1B1，

∴GE∥平面BDD1B1．

(2)由正方体性质得B1D1∥BD，

∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，

∴B1D1∥平面BDF．

连接HB，D1F，

易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF．

∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，

∴HD1∥平面BDF．

∵B1D1∩HD1＝D1，B1D1，HD1?平面B1D1H．

∴平面BDF∥平面B1D1H．

二、空间中的垂直关系

空间垂直关系的判定方法：

(1)判定线线垂直的方法：

①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；

②线面垂直的性质(若a⊥α，b?α，则a⊥b)．

(2)判定线面垂直的方法：

①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；

②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)；

③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α?a⊥α)；

④面面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；

⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；

⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)．

(3)面面垂直的判定方法：

①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为